Rozwiąż 2x^2-11x-40=0

$$2 { x }^{ 2 } -11x-40=0$$

Rozwiąż względem x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x=8$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: 2x^{2}+ax+bx-40. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-11 ab=2\left(-40\right)=-80$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest ujemne, liczba ujemna ma większą wartość bezwzględną niż dodatnia. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -80.

$$1,-80 2,-40 4,-20 5,-16 8,-10$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$1-80=-79 2-40=-38 4-20=-16 5-16=-11 8-10=-2$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę -11.

$$a=-16 b=5$$

Przepisz 2x^{2}-11x-40 jako \left(2x^{2}-16x\right)+\left(5x-40\right).

$$\left(2x^{2}-16x\right)+\left(5x-40\right)$$

Wyłącz przed nawias 2x w pierwszej grupie i 5 w drugiej grupie.

$$2x\left(x-8\right)+5\left(x-8\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik x-8, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(x-8\right)\left(2x+5\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: x-8=0 i 2x+5=0.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$2x^{2}-11x-40=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 2 do a, -11 do b i -40 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Podnieś do kwadratu -11.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Pomnóż -4 przez 2.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-8\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Pomnóż -8 przez -40.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+320}}{2\times 2}$$

Dodaj 121 do 320.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{441}}{2\times 2}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 441.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±21}{2\times 2}$$

Liczba przeciwna do -11 to 11.

$$x=\frac{11±21}{2\times 2}$$

Pomnóż 2 przez 2.

$$x=\frac{11±21}{4}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{11±21}{4} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj 11 do 21.

$$x=\frac{32}{4}$$

Podziel 32 przez 4.

$$x=8$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{11±21}{4} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 21 od 11.

$$x=-\frac{10}{4}$$

Zredukuj ułamek \frac{-10}{4} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 2.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-11x-40=0$$

Dodaj 40 do obu stron równania.

$$2x^{2}-11x-40-\left(-40\right)=-\left(-40\right)$$

Odjęcie -40 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$2x^{2}-11x=-\left(-40\right)$$

Odejmij -40 od 0.

$$2x^{2}-11x=40$$

Podziel obie strony przez 2.

$$\frac{2x^{2}-11x}{2}=\frac{40}{2}$$

Dzielenie przez 2 cofa mnożenie przez 2.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=\frac{40}{2}$$

Podziel 40 przez 2.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=20$$

Podziel -\frac{11}{2}, współczynnik x, przez 2, aby otrzymać -\frac{11}{4}. Następnie dodaj kwadrat liczby -\frac{11}{4} do obu stron równania. Ten krok sprawi, że lewa strona tego równania stanie się liczbą kwadratową.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=20+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu -\frac{11}{4}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=20+\frac{121}{16}$$

Dodaj 20 do \frac{121}{16}.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=\frac{441}{16}$$

Rozłóż na czynniki wyrażenie x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}. Ogólnie, gdy wyrażenie x^{2}+bx+c jest liczbą kwadratową, zawsze można je rozłożyć na czynniki jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{441}{16}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{16}}$$

Uprość.

$$x-\frac{11}{4}=\frac{21}{4} x-\frac{11}{4}=-\frac{21}{4}$$

Dodaj \frac{11}{4} do obu stron równania.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$