Rozwiąż 2x^2+x-6=30

$$2 { x }^{ 2 } +x-6=30$$

Rozwiąż względem x

$$x = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4,5$$

$$x=4$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Odejmij 30 od obu stron.

$$2x^{2}+x-6-30=0$$

Odejmij 30 od -6, aby uzyskać -36.

$$2x^{2}+x-36=0$$

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: 2x^{2}+ax+bx-36. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=1 ab=2\left(-36\right)=-72$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest dodatnie, liczba dodatnia ma większą wartość bezwzględną niż ujemna. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -72.

$$-1,72 -2,36 -3,24 -4,18 -6,12 -8,9$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$-1+72=71 -2+36=34 -3+24=21 -4+18=14 -6+12=6 -8+9=1$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę 1.

$$a=-8 b=9$$

Przepisz 2x^{2}+x-36 jako \left(2x^{2}-8x\right)+\left(9x-36\right).

$$\left(2x^{2}-8x\right)+\left(9x-36\right)$$

2x w pierwszej i 9 w drugiej grupie.

$$2x\left(x-4\right)+9\left(x-4\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik x-4, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(x-4\right)\left(2x+9\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: x-4=0 i 2x+9=0.

$$x=4 x=-\frac{9}{2}$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$2x^{2}+x-6=30$$

Odejmij 30 od obu stron równania.

$$2x^{2}+x-6-30=30-30$$

Odjęcie 30 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$2x^{2}+x-6-30=0$$

Odejmij 30 od -6.

$$2x^{2}+x-36=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 2 do a, 1 do b i -36 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-36\right)}}{2\times 2}$$

Podnieś do kwadratu 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2\left(-36\right)}}{2\times 2}$$

Pomnóż -4 przez 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-8\left(-36\right)}}{2\times 2}$$

Pomnóż -8 przez -36.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+288}}{2\times 2}$$

Dodaj 1 do 288.

$$x=\frac{-1±\sqrt{289}}{2\times 2}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 289.

$$x=\frac{-1±17}{2\times 2}$$

Pomnóż 2 przez 2.

$$x=\frac{-1±17}{4}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-1±17}{4} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj -1 do 17.

$$x=\frac{16}{4}$$

Podziel 16 przez 4.

$$x=4$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-1±17}{4} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 17 od -1.

$$x=-\frac{18}{4}$$

Zredukuj ułamek \frac{-18}{4} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 2.

$$x=-\frac{9}{2}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=4 x=-\frac{9}{2}$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+x-6=30$$

Dodaj 6 do obu stron równania.

$$2x^{2}+x-6-\left(-6\right)=30-\left(-6\right)$$

Odjęcie -6 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$2x^{2}+x=30-\left(-6\right)$$

Odejmij -6 od 30.

$$2x^{2}+x=36$$

Podziel obie strony przez 2.

$$\frac{2x^{2}+x}{2}=\frac{36}{2}$$

Dzielenie przez 2 cofa mnożenie przez 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{36}{2}$$

Podziel 36 przez 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=18$$

Podziel \frac{1}{2}, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać \frac{1}{4}. Następnie Dodaj kwadrat \frac{1}{4} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=18+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu \frac{1}{4}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=18+\frac{1}{16}$$

Dodaj 18 do \frac{1}{16}.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{289}{16}$$

Współczynnik x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{289}{16}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{16}}$$

Uprość.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{17}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{17}{4}$$

Odejmij \frac{1}{4} od obu stron równania.

$$x=4 x=-\frac{9}{2}$$