Rozwiąż 2x^2+3x-14=0

$$2 { x }^{ 2 } +3x-14=0$$

Rozwiąż względem x

$$x = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3,5$$

$$x=2$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: 2x^{2}+ax+bx-14. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=3 ab=2\left(-14\right)=-28$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest dodatnie, liczba dodatnia ma większą wartość bezwzględną niż ujemna. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -28.

$$-1,28 -2,14 -4,7$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$-1+28=27 -2+14=12 -4+7=3$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę 3.

$$a=-4 b=7$$

Przepisz 2x^{2}+3x-14 jako \left(2x^{2}-4x\right)+\left(7x-14\right).

$$\left(2x^{2}-4x\right)+\left(7x-14\right)$$

2x w pierwszej i 7 w drugiej grupie.

$$2x\left(x-2\right)+7\left(x-2\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik x-2, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(x-2\right)\left(2x+7\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: x-2=0 i 2x+7=0.

$$x=2 x=-\frac{7}{2}$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$2x^{2}+3x-14=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 2 do a, 3 do b i -14 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\left(-14\right)}}{2\times 2}$$

Podnieś do kwadratu 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 2\left(-14\right)}}{2\times 2}$$

Pomnóż -4 przez 2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-8\left(-14\right)}}{2\times 2}$$

Pomnóż -8 przez -14.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+112}}{2\times 2}$$

Dodaj 9 do 112.

$$x=\frac{-3±\sqrt{121}}{2\times 2}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 121.

$$x=\frac{-3±11}{2\times 2}$$

Pomnóż 2 przez 2.

$$x=\frac{-3±11}{4}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-3±11}{4} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj -3 do 11.

$$x=\frac{8}{4}$$

Podziel 8 przez 4.

$$x=2$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-3±11}{4} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 11 od -3.

$$x=-\frac{14}{4}$$

Zredukuj ułamek \frac{-14}{4} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 2.

$$x=-\frac{7}{2}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=2 x=-\frac{7}{2}$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+3x-14=0$$

Dodaj 14 do obu stron równania.

$$2x^{2}+3x-14-\left(-14\right)=-\left(-14\right)$$

Odjęcie -14 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$2x^{2}+3x=-\left(-14\right)$$

Odejmij -14 od 0.

$$2x^{2}+3x=14$$

Podziel obie strony przez 2.

$$\frac{2x^{2}+3x}{2}=\frac{14}{2}$$

Dzielenie przez 2 cofa mnożenie przez 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=\frac{14}{2}$$

Podziel 14 przez 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=7$$

Podziel \frac{3}{2}, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać \frac{3}{4}. Następnie Dodaj kwadrat \frac{3}{4} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=7+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu \frac{3}{4}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=7+\frac{9}{16}$$

Dodaj 7 do \frac{9}{16}.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{121}{16}$$

Współczynnik x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{121}{16}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{16}}$$

Uprość.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{11}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{11}{4}$$

Odejmij \frac{3}{4} od obu stron równania.

$$x=2 x=-\frac{7}{2}$$