Rozwiąż 18x^2+9x-5=0

$$18 x ^ { 2 } + 9 x - 5 = 0$$

Rozwiąż względem x

$$x=-\frac{5}{6}\approx -0,833333333$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: 18x^{2}+ax+bx-5. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=9 ab=18\left(-5\right)=-90$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest dodatnie, liczba dodatnia ma większą wartość bezwzględną niż ujemna. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -90.

$$-1,90 -2,45 -3,30 -5,18 -6,15 -9,10$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$-1+90=89 -2+45=43 -3+30=27 -5+18=13 -6+15=9 -9+10=1$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę 9.

$$a=-6 b=15$$

Przepisz 18x^{2}+9x-5 jako \left(18x^{2}-6x\right)+\left(15x-5\right).

$$\left(18x^{2}-6x\right)+\left(15x-5\right)$$

6x w pierwszej i 5 w drugiej grupie.

$$6x\left(3x-1\right)+5\left(3x-1\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik 3x-1, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(3x-1\right)\left(6x+5\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: 3x-1=0 i 6x+5=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{5}{6}$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$18x^{2}+9x-5=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 18 do a, 9 do b i -5 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Podnieś do kwadratu 9.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Pomnóż -4 przez 18.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-72\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Pomnóż -72 przez -5.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+360}}{2\times 18}$$

Dodaj 81 do 360.

$$x=\frac{-9±\sqrt{441}}{2\times 18}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 441.

$$x=\frac{-9±21}{2\times 18}$$

Pomnóż 2 przez 18.

$$x=\frac{-9±21}{36}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-9±21}{36} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj -9 do 21.

$$x=\frac{12}{36}$$

Zredukuj ułamek \frac{12}{36} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 12.

$$x=\frac{1}{3}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-9±21}{36} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 21 od -9.

$$x=-\frac{30}{36}$$

Zredukuj ułamek \frac{-30}{36} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 6.

$$x=-\frac{5}{6}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{5}{6}$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$18x^{2}+9x-5=0$$

Dodaj 5 do obu stron równania.

$$18x^{2}+9x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Odjęcie -5 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$18x^{2}+9x=-\left(-5\right)$$

Odejmij -5 od 0.

$$18x^{2}+9x=5$$

Podziel obie strony przez 18.

$$\frac{18x^{2}+9x}{18}=\frac{5}{18}$$

Dzielenie przez 18 cofa mnożenie przez 18.

$$x^{2}+\frac{9}{18}x=\frac{5}{18}$$

Zredukuj ułamek \frac{9}{18} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 9.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{5}{18}$$

Podziel \frac{1}{2}, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać \frac{1}{4}. Następnie Dodaj kwadrat \frac{1}{4} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{5}{18}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu \frac{1}{4}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{5}{18}+\frac{1}{16}$$

Dodaj \frac{5}{18} do \frac{1}{16}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{49}{144}$$

Współczynnik x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Uprość.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{7}{12} x+\frac{1}{4}=-\frac{7}{12}$$

Odejmij \frac{1}{4} od obu stron równania.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{5}{6}$$