Rozwiąż 18x^2-9x-5=0

$$18 { x }^{ 2 } -9x-5 = 0$$

Rozwiąż względem x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

$$x=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: 18x^{2}+ax+bx-5. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-9 ab=18\left(-5\right)=-90$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest ujemne, liczba ujemna ma większą wartość bezwzględną niż dodatnia. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -90.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę -9.

$$a=-15 b=6$$

Przepisz 18x^{2}-9x-5 jako \left(18x^{2}-15x\right)+\left(6x-5\right).

$$\left(18x^{2}-15x\right)+\left(6x-5\right)$$

Wyłącz przed nawias 3x w 18x^{2}-15x.

$$3x\left(6x-5\right)+6x-5$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik 6x-5, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(6x-5\right)\left(3x+1\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: 6x-5=0 i 3x+1=0.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$18x^{2}-9x-5=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 18 do a, -9 do b i -5 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Podnieś do kwadratu -9.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Pomnóż -4 przez 18.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-72\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Pomnóż -72 przez -5.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+360}}{2\times 18}$$

Dodaj 81 do 360.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{441}}{2\times 18}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 441.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±21}{2\times 18}$$

Liczba przeciwna do -9 to 9.

$$x=\frac{9±21}{2\times 18}$$

Pomnóż 2 przez 18.

$$x=\frac{9±21}{36}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{9±21}{36} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj 9 do 21.

$$x=\frac{30}{36}$$

Zredukuj ułamek \frac{30}{36} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 6.

$$x=\frac{5}{6}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{9±21}{36} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 21 od 9.

$$x=-\frac{12}{36}$$

Zredukuj ułamek \frac{-12}{36} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 12.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$18x^{2}-9x-5=0$$

Dodaj 5 do obu stron równania.

$$18x^{2}-9x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Odjęcie -5 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$18x^{2}-9x=-\left(-5\right)$$

Odejmij -5 od 0.

$$18x^{2}-9x=5$$

Podziel obie strony przez 18.

$$\frac{18x^{2}-9x}{18}=\frac{5}{18}$$

Dzielenie przez 18 cofa mnożenie przez 18.

$$x^{2}+\left(-\frac{9}{18}\right)x=\frac{5}{18}$$

Zredukuj ułamek \frac{-9}{18} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 9.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{5}{18}$$

Podziel -\frac{1}{2}, współczynnik x, przez 2, aby otrzymać -\frac{1}{4}. Następnie dodaj kwadrat liczby -\frac{1}{4} do obu stron równania. Ten krok sprawi, że lewa strona tego równania stanie się liczbą kwadratową.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{5}{18}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu -\frac{1}{4}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{5}{18}+\frac{1}{16}$$

Dodaj \frac{5}{18} do \frac{1}{16}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{49}{144}$$

Rozłóż na czynniki wyrażenie x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Ogólnie, gdy wyrażenie x^{2}+bx+c jest liczbą kwadratową, zawsze można je rozłożyć na czynniki jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Uprość.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{7}{12} x-\frac{1}{4}=-\frac{7}{12}$$

Dodaj \frac{1}{4} do obu stron równania.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$