Rozwiąż 16x^2+8x-3=0

$$16 x ^ { 2 } + 8 x - 3 = 0$$

Rozwiąż względem x

$$x=-\frac{3}{4}=-0,75$$

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: 16x^{2}+ax+bx-3. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=8 ab=16\left(-3\right)=-48$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest dodatnie, liczba dodatnia ma większą wartość bezwzględną niż ujemna. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -48.

$$-1,48 -2,24 -3,16 -4,12 -6,8$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$-1+48=47 -2+24=22 -3+16=13 -4+12=8 -6+8=2$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę 8.

$$a=-4 b=12$$

Przepisz 16x^{2}+8x-3 jako \left(16x^{2}-4x\right)+\left(12x-3\right).

$$\left(16x^{2}-4x\right)+\left(12x-3\right)$$

4x w pierwszej i 3 w drugiej grupie.

$$4x\left(4x-1\right)+3\left(4x-1\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik 4x-1, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(4x-1\right)\left(4x+3\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: 4x-1=0 i 4x+3=0.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{3}{4}$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$16x^{2}+8x-3=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 16 do a, 8 do b i -3 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 16\left(-3\right)}}{2\times 16}$$

Podnieś do kwadratu 8.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 16\left(-3\right)}}{2\times 16}$$

Pomnóż -4 przez 16.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-64\left(-3\right)}}{2\times 16}$$

Pomnóż -64 przez -3.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+192}}{2\times 16}$$

Dodaj 64 do 192.

$$x=\frac{-8±\sqrt{256}}{2\times 16}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 256.

$$x=\frac{-8±16}{2\times 16}$$

Pomnóż 2 przez 16.

$$x=\frac{-8±16}{32}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-8±16}{32} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj -8 do 16.

$$x=\frac{8}{32}$$

Zredukuj ułamek \frac{8}{32} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 8.

$$x=\frac{1}{4}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-8±16}{32} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 16 od -8.

$$x=-\frac{24}{32}$$

Zredukuj ułamek \frac{-24}{32} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 8.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{3}{4}$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$16x^{2}+8x-3=0$$

Dodaj 3 do obu stron równania.

$$16x^{2}+8x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Odjęcie -3 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$16x^{2}+8x=-\left(-3\right)$$

Odejmij -3 od 0.

$$16x^{2}+8x=3$$

Podziel obie strony przez 16.

$$\frac{16x^{2}+8x}{16}=\frac{3}{16}$$

Dzielenie przez 16 cofa mnożenie przez 16.

$$x^{2}+\frac{8}{16}x=\frac{3}{16}$$

Zredukuj ułamek \frac{8}{16} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 8.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{3}{16}$$

Podziel \frac{1}{2}, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać \frac{1}{4}. Następnie Dodaj kwadrat \frac{1}{4} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{3}{16}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu \frac{1}{4}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{3+1}{16}$$

Dodaj \frac{3}{16} do \frac{1}{16}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{1}{4}$$

Współczynnik x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Uprość.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2} x+\frac{1}{4}=-\frac{1}{2}$$

Odejmij \frac{1}{4} od obu stron równania.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{3}{4}$$