Rozwiąż 16x^2+10x-9=0

$$16 x ^ { 2 } + 10 x - 9 = 0$$

Rozwiąż względem x

$$x = -\frac{9}{8} = -1\frac{1}{8} = -1,125$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: 16x^{2}+ax+bx-9. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=10 ab=16\left(-9\right)=-144$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest dodatnie, liczba dodatnia ma większą wartość bezwzględną niż ujemna. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -144.

$$-1,144 -2,72 -3,48 -4,36 -6,24 -8,18 -9,16 -12,12$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$-1+144=143 -2+72=70 -3+48=45 -4+36=32 -6+24=18 -8+18=10 -9+16=7 -12+12=0$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę 10.

$$a=-8 b=18$$

Przepisz 16x^{2}+10x-9 jako \left(16x^{2}-8x\right)+\left(18x-9\right).

$$\left(16x^{2}-8x\right)+\left(18x-9\right)$$

8x w pierwszej i 9 w drugiej grupie.

$$8x\left(2x-1\right)+9\left(2x-1\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik 2x-1, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(2x-1\right)\left(8x+9\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: 2x-1=0 i 8x+9=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$16x^{2}+10x-9=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 16 do a, 10 do b i -9 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 16\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

Podnieś do kwadratu 10.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 16\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

Pomnóż -4 przez 16.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-64\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

Pomnóż -64 przez -9.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+576}}{2\times 16}$$

Dodaj 100 do 576.

$$x=\frac{-10±\sqrt{676}}{2\times 16}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 676.

$$x=\frac{-10±26}{2\times 16}$$

Pomnóż 2 przez 16.

$$x=\frac{-10±26}{32}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-10±26}{32} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj -10 do 26.

$$x=\frac{16}{32}$$

Zredukuj ułamek \frac{16}{32} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 16.

$$x=\frac{1}{2}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-10±26}{32} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 26 od -10.

$$x=-\frac{36}{32}$$

Zredukuj ułamek \frac{-36}{32} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 4.

$$x=-\frac{9}{8}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$16x^{2}+10x-9=0$$

Dodaj 9 do obu stron równania.

$$16x^{2}+10x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Odjęcie -9 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$16x^{2}+10x=-\left(-9\right)$$

Odejmij -9 od 0.

$$16x^{2}+10x=9$$

Podziel obie strony przez 16.

$$\frac{16x^{2}+10x}{16}=\frac{9}{16}$$

Dzielenie przez 16 cofa mnożenie przez 16.

$$x^{2}+\frac{10}{16}x=\frac{9}{16}$$

Zredukuj ułamek \frac{10}{16} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 2.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x=\frac{9}{16}$$

Podziel \frac{5}{8}, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać \frac{5}{16}. Następnie Dodaj kwadrat \frac{5}{16} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\left(\frac{5}{16}\right)^{2}=\frac{9}{16}+\left(\frac{5}{16}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu \frac{5}{16}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}=\frac{9}{16}+\frac{25}{256}$$

Dodaj \frac{9}{16} do \frac{25}{256}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}=\frac{169}{256}$$

Współczynnik x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{16}\right)^{2}=\frac{169}{256}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{256}}$$

Uprość.

$$x+\frac{5}{16}=\frac{13}{16} x+\frac{5}{16}=-\frac{13}{16}$$

Odejmij \frac{5}{16} od obu stron równania.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$