Rozwiąż 15x^2+7x=4

$$15 x ^ { 2 } + 7 x = 4$$

Rozwiąż względem x

$$x=-\frac{4}{5}=-0,8$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Odejmij 4 od obu stron.

$$15x^{2}+7x-4=0$$

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: 15x^{2}+ax+bx-4. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=7 ab=15\left(-4\right)=-60$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest dodatnie, liczba dodatnia ma większą wartość bezwzględną niż ujemna. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -60.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę 7.

$$a=-5 b=12$$

Przepisz 15x^{2}+7x-4 jako \left(15x^{2}-5x\right)+\left(12x-4\right).

$$\left(15x^{2}-5x\right)+\left(12x-4\right)$$

5x w pierwszej i 4 w drugiej grupie.

$$5x\left(3x-1\right)+4\left(3x-1\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik 3x-1, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(3x-1\right)\left(5x+4\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: 3x-1=0 i 5x+4=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{4}{5}$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$15x^{2}+7x=4$$

Odejmij 4 od obu stron równania.

$$15x^{2}+7x-4=4-4$$

Odjęcie 4 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$15x^{2}+7x-4=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 15 do a, 7 do b i -4 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Podnieś do kwadratu 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Pomnóż -4 przez 15.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-60\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Pomnóż -60 przez -4.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+240}}{2\times 15}$$

Dodaj 49 do 240.

$$x=\frac{-7±\sqrt{289}}{2\times 15}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 289.

$$x=\frac{-7±17}{2\times 15}$$

Pomnóż 2 przez 15.

$$x=\frac{-7±17}{30}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-7±17}{30} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj -7 do 17.

$$x=\frac{10}{30}$$

Zredukuj ułamek \frac{10}{30} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 10.

$$x=\frac{1}{3}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-7±17}{30} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 17 od -7.

$$x=-\frac{24}{30}$$

Zredukuj ułamek \frac{-24}{30} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 6.

$$x=-\frac{4}{5}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{4}{5}$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$15x^{2}+7x=4$$

Podziel obie strony przez 15.

$$\frac{15x^{2}+7x}{15}=\frac{4}{15}$$

Dzielenie przez 15 cofa mnożenie przez 15.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x=\frac{4}{15}$$

Podziel \frac{7}{15}, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać \frac{7}{30}. Następnie Dodaj kwadrat \frac{7}{30} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\left(\frac{7}{30}\right)^{2}=\frac{4}{15}+\left(\frac{7}{30}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu \frac{7}{30}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}=\frac{4}{15}+\frac{49}{900}$$

Dodaj \frac{4}{15} do \frac{49}{900}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}=\frac{289}{900}$$

Współczynnik x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{30}\right)^{2}=\frac{289}{900}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{900}}$$

Uprość.

$$x+\frac{7}{30}=\frac{17}{30} x+\frac{7}{30}=-\frac{17}{30}$$

Odejmij \frac{7}{30} od obu stron równania.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{4}{5}$$