Rozwiąż 15x^2+11x+2=0

$$15 x ^ { 2 } + 11 x + 2 = 0$$

Rozwiąż względem x

$$x=-\frac{2}{5}=-0,4$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: 15x^{2}+ax+bx+2. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=11 ab=15\times 2=30$$

Ponieważ ab ma wartość dodatnią, a i b mają ten sam znak. Ponieważ a+b ma wartość dodatnią, a i b są dodatnie. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę 11.

$$a=5 b=6$$

Przepisz 15x^{2}+11x+2 jako \left(15x^{2}+5x\right)+\left(6x+2\right).

$$\left(15x^{2}+5x\right)+\left(6x+2\right)$$

Wyłącz przed nawias 5x w pierwszej grupie i 2 w drugiej grupie.

$$5x\left(3x+1\right)+2\left(3x+1\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik 3x+1, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(3x+1\right)\left(5x+2\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: 3x+1=0 i 5x+2=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$15x^{2}+11x+2=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 15 do a, 11 do b i 2 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

Podnieś do kwadratu 11.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

Pomnóż -4 przez 15.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-60\times 2}}{2\times 15}$$

Pomnóż -60 przez 2.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-120}}{2\times 15}$$

Dodaj 121 do -120.

$$x=\frac{-11±\sqrt{1}}{2\times 15}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 1.

$$x=\frac{-11±1}{2\times 15}$$

Pomnóż 2 przez 15.

$$x=\frac{-11±1}{30}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-11±1}{30} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj -11 do 1.

$$x=-\frac{10}{30}$$

Zredukuj ułamek \frac{-10}{30} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 10.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-11±1}{30} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 1 od -11.

$$x=-\frac{12}{30}$$

Zredukuj ułamek \frac{-12}{30} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 6.

$$x=-\frac{2}{5}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$15x^{2}+11x+2=0$$

Odejmij 2 od obu stron równania.

$$15x^{2}+11x+2-2=-2$$

Odjęcie 2 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$15x^{2}+11x=-2$$

Podziel obie strony przez 15.

$$\frac{15x^{2}+11x}{15}=-\frac{2}{15}$$

Dzielenie przez 15 cofa mnożenie przez 15.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x=-\frac{2}{15}$$

Podziel \frac{11}{15}, współczynnik x, przez 2, aby otrzymać \frac{11}{30}. Następnie dodaj kwadrat liczby \frac{11}{30} do obu stron równania. Ten krok sprawi, że lewa strona tego równania stanie się liczbą kwadratową.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\left(\frac{11}{30}\right)^{2}=-\frac{2}{15}+\left(\frac{11}{30}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu \frac{11}{30}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}=-\frac{2}{15}+\frac{121}{900}$$

Dodaj -\frac{2}{15} do \frac{121}{900}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}=\frac{1}{900}$$

Rozłóż na czynniki wyrażenie x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}. Ogólnie, gdy wyrażenie x^{2}+bx+c jest liczbą kwadratową, zawsze można je rozłożyć na czynniki jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{30}\right)^{2}=\frac{1}{900}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{900}}$$

Uprość.

$$x+\frac{11}{30}=\frac{1}{30} x+\frac{11}{30}=-\frac{1}{30}$$

Odejmij \frac{11}{30} od obu stron równania.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$