Rozwiąż 15x^2-8x-16

$$15 { x }^{ 2 } -8x-16$$

Rozłóż na czynniki

$$\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)$$

Kroki rozwiązania

Rozłóż wyrażenie na czynniki przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie wyrażenie jako 15x^{2}+ax+bx-16. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-8 ab=15\left(-16\right)=-240$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest ujemne, liczba ujemna ma większą wartość bezwzględną niż dodatnia. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -240.

$$1,-240 2,-120 3,-80 4,-60 5,-48 6,-40 8,-30 10,-24 12,-20 15,-16$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$1-240=-239 2-120=-118 3-80=-77 4-60=-56 5-48=-43 6-40=-34 8-30=-22 10-24=-14 12-20=-8 15-16=-1$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę -8.

$$a=-20 b=12$$

Przepisz 15x^{2}-8x-16 jako \left(15x^{2}-20x\right)+\left(12x-16\right).

$$\left(15x^{2}-20x\right)+\left(12x-16\right)$$

Wyłącz przed nawias 5x w pierwszej grupie i 4 w drugiej grupie.

$$5x\left(3x-4\right)+4\left(3x-4\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik 3x-4, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wielomian kwadratowy można rozkładać na czynniki przy użyciu przekształcenia ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), gdzie x_{1} i x_{2} to rozwiązania równania kwadratowego ax^{2}+bx+c=0.

$$15x^{2}-8x-16=0$$

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 15\left(-16\right)}}{2\times 15}$$

Podnieś do kwadratu -8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 15\left(-16\right)}}{2\times 15}$$

Pomnóż -4 przez 15.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-60\left(-16\right)}}{2\times 15}$$

Pomnóż -60 przez -16.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+960}}{2\times 15}$$

Dodaj 64 do 960.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{1024}}{2\times 15}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 1024.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±32}{2\times 15}$$

Liczba przeciwna do -8 to 8.

$$x=\frac{8±32}{2\times 15}$$

Pomnóż 2 przez 15.

$$x=\frac{8±32}{30}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{8±32}{30} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj 8 do 32.

$$x=\frac{40}{30}$$

Zredukuj ułamek \frac{40}{30} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 10.

$$x=\frac{4}{3}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{8±32}{30} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 32 od 8.

$$x=-\frac{24}{30}$$

Zredukuj ułamek \frac{-24}{30} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 6.

$$x=-\frac{4}{5}$$

Rozłóż oryginalne wyrażenie na czynniki przy użyciu wyrażenia ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Podstaw \frac{4}{3} za x_{1} i -\frac{4}{5} za x_{2}.

$$15x^{2}-8x-16=15\left(x-\frac{4}{3}\right)\left(x-\left(-\frac{4}{5}\right)\right)$$

Uprość wszystkie wyrażenia w postaci p-\left(-q\right) do postaci p+q.

$$15x^{2}-8x-16=15\left(x-\frac{4}{3}\right)\left(x+\frac{4}{5}\right)$$

Odejmij x od \frac{4}{3}, znajdując wspólny mianownik i odejmując liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$15x^{2}-8x-16=15\times \frac{3x-4}{3}\left(x+\frac{4}{5}\right)$$

Dodaj \frac{4}{5} do x, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$15x^{2}-8x-16=15\times \frac{3x-4}{3}\times \frac{5x+4}{5}$$

Pomnóż \frac{3x-4}{3} przez \frac{5x+4}{5}, mnożąc oba liczniki i oba mianowniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$15x^{2}-8x-16=15\times \frac{\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)}{3\times 5}$$

Pomnóż 3 przez 5.

$$15x^{2}-8x-16=15\times \frac{\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)}{15}$$

Skróć największy wspólny dzielnik 15 w 15 i 15.

$$15x^{2}-8x-16=\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)$$

Oblicz

$$\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)$$