Rozwiąż 15x^2+4x-4=0

$$15 { x }^{ 2 } +4x-4=0$$

Rozwiąż względem x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=\frac{2}{5}=0,4$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: 15x^{2}+ax+bx-4. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=4 ab=15\left(-4\right)=-60$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest dodatnie, liczba dodatnia ma większą wartość bezwzględną niż ujemna. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -60.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę 4.

$$a=-6 b=10$$

Przepisz 15x^{2}+4x-4 jako \left(15x^{2}-6x\right)+\left(10x-4\right).

$$\left(15x^{2}-6x\right)+\left(10x-4\right)$$

3x w pierwszej i 2 w drugiej grupie.

$$3x\left(5x-2\right)+2\left(5x-2\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik 5x-2, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(5x-2\right)\left(3x+2\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: 5x-2=0 i 3x+2=0.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$15x^{2}+4x-4=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 15 do a, 4 do b i -4 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Podnieś do kwadratu 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Pomnóż -4 przez 15.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-60\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Pomnóż -60 przez -4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+240}}{2\times 15}$$

Dodaj 16 do 240.

$$x=\frac{-4±\sqrt{256}}{2\times 15}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 256.

$$x=\frac{-4±16}{2\times 15}$$

Pomnóż 2 przez 15.

$$x=\frac{-4±16}{30}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-4±16}{30} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj -4 do 16.

$$x=\frac{12}{30}$$

Zredukuj ułamek \frac{12}{30} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 6.

$$x=\frac{2}{5}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-4±16}{30} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 16 od -4.

$$x=-\frac{20}{30}$$

Zredukuj ułamek \frac{-20}{30} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 10.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$15x^{2}+4x-4=0$$

Dodaj 4 do obu stron równania.

$$15x^{2}+4x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Odjęcie -4 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$15x^{2}+4x=-\left(-4\right)$$

Odejmij -4 od 0.

$$15x^{2}+4x=4$$

Podziel obie strony przez 15.

$$\frac{15x^{2}+4x}{15}=\frac{4}{15}$$

Dzielenie przez 15 cofa mnożenie przez 15.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x=\frac{4}{15}$$

Podziel \frac{4}{15}, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać \frac{2}{15}. Następnie Dodaj kwadrat \frac{2}{15} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\left(\frac{2}{15}\right)^{2}=\frac{4}{15}+\left(\frac{2}{15}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu \frac{2}{15}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}=\frac{4}{15}+\frac{4}{225}$$

Dodaj \frac{4}{15} do \frac{4}{225}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}=\frac{64}{225}$$

Współczynnik x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{15}\right)^{2}=\frac{64}{225}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{225}}$$

Uprość.

$$x+\frac{2}{15}=\frac{8}{15} x+\frac{2}{15}=-\frac{8}{15}$$

Odejmij \frac{2}{15} od obu stron równania.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$