Rozwiąż 14x^2-29x-15=0

$$14 { x }^{ 2 } -29x-15 = 0$$

Rozwiąż względem x

$$x=-\frac{3}{7}\approx -0,428571429$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: 14x^{2}+ax+bx-15. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-29 ab=14\left(-15\right)=-210$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest ujemne, liczba ujemna ma większą wartość bezwzględną niż dodatnia. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę -29.

$$a=-35 b=6$$

Przepisz 14x^{2}-29x-15 jako \left(14x^{2}-35x\right)+\left(6x-15\right).

$$\left(14x^{2}-35x\right)+\left(6x-15\right)$$

7x w pierwszej i 3 w drugiej grupie.

$$7x\left(2x-5\right)+3\left(2x-5\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik 2x-5, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(2x-5\right)\left(7x+3\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: 2x-5=0 i 7x+3=0.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{7}$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$14x^{2}-29x-15=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 14 do a, -29 do b i -15 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{\left(-29\right)^{2}-4\times 14\left(-15\right)}}{2\times 14}$$

Podnieś do kwadratu -29.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-4\times 14\left(-15\right)}}{2\times 14}$$

Pomnóż -4 przez 14.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-56\left(-15\right)}}{2\times 14}$$

Pomnóż -56 przez -15.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841+840}}{2\times 14}$$

Dodaj 841 do 840.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{1681}}{2\times 14}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 1681.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±41}{2\times 14}$$

Liczba przeciwna do -29 to 29.

$$x=\frac{29±41}{2\times 14}$$

Pomnóż 2 przez 14.

$$x=\frac{29±41}{28}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{29±41}{28} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj 29 do 41.

$$x=\frac{70}{28}$$

Zredukuj ułamek \frac{70}{28} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 14.

$$x=\frac{5}{2}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{29±41}{28} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 41 od 29.

$$x=-\frac{12}{28}$$

Zredukuj ułamek \frac{-12}{28} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 4.

$$x=-\frac{3}{7}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{7}$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$14x^{2}-29x-15=0$$

Dodaj 15 do obu stron równania.

$$14x^{2}-29x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Odjęcie -15 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$14x^{2}-29x=-\left(-15\right)$$

Odejmij -15 od 0.

$$14x^{2}-29x=15$$

Podziel obie strony przez 14.

$$\frac{14x^{2}-29x}{14}=\frac{15}{14}$$

Dzielenie przez 14 cofa mnożenie przez 14.

$$x^{2}-\frac{29}{14}x=\frac{15}{14}$$

Podziel -\frac{29}{14}, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać -\frac{29}{28}. Następnie Dodaj kwadrat -\frac{29}{28} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}-\frac{29}{14}x+\left(-\frac{29}{28}\right)^{2}=\frac{15}{14}+\left(-\frac{29}{28}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu -\frac{29}{28}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}-\frac{29}{14}x+\frac{841}{784}=\frac{15}{14}+\frac{841}{784}$$

Dodaj \frac{15}{14} do \frac{841}{784}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x^{2}-\frac{29}{14}x+\frac{841}{784}=\frac{1681}{784}$$

Współczynnik x^{2}-\frac{29}{14}x+\frac{841}{784}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{29}{28}\right)^{2}=\frac{1681}{784}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x-\frac{29}{28}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{784}}$$

Uprość.

$$x-\frac{29}{28}=\frac{41}{28} x-\frac{29}{28}=-\frac{41}{28}$$

Dodaj \frac{29}{28} do obu stron równania.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{7}$$