Rozwiąż 13x^2+40x-22400=0

$$13 { x }^{ 2 } +40x-22400=0$$

Rozwiąż względem x

$$x = -\frac{560}{13} = -43\frac{1}{13} \approx -43,076923077$$

$$x=40$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: 13x^{2}+ax+bx-22400. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=40 ab=13\left(-22400\right)=-291200$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest dodatnie, liczba dodatnia ma większą wartość bezwzględną niż ujemna. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -291200.

$$-1,291200 -2,145600 -4,72800 -5,58240 -7,41600 -8,36400 -10,29120 -13,22400 -14,20800 -16,18200 -20,14560 -25,11648 -26,11200 -28,10400 -32,9100 -35,8320 -40,7280 -50,5824 -52,5600 -56,5200 -64,4550 -65,4480 -70,4160 -80,3640 -91,3200 -100,2912 -104,2800 -112,2600 -128,2275 -130,2240 -140,2080 -160,1820 -175,1664 -182,1600 -200,1456 -208,1400 -224,1300 -260,1120 -280,1040 -320,910 -325,896 -350,832 -364,800 -400,728 -416,700 -448,650 -455,640 -520,560$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$-1+291200=291199 -2+145600=145598 -4+72800=72796 -5+58240=58235 -7+41600=41593 -8+36400=36392 -10+29120=29110 -13+22400=22387 -14+20800=20786 -16+18200=18184 -20+14560=14540 -25+11648=11623 -26+11200=11174 -28+10400=10372 -32+9100=9068 -35+8320=8285 -40+7280=7240 -50+5824=5774 -52+5600=5548 -56+5200=5144 -64+4550=4486 -65+4480=4415 -70+4160=4090 -80+3640=3560 -91+3200=3109 -100+2912=2812 -104+2800=2696 -112+2600=2488 -128+2275=2147 -130+2240=2110 -140+2080=1940 -160+1820=1660 -175+1664=1489 -182+1600=1418 -200+1456=1256 -208+1400=1192 -224+1300=1076 -260+1120=860 -280+1040=760 -320+910=590 -325+896=571 -350+832=482 -364+800=436 -400+728=328 -416+700=284 -448+650=202 -455+640=185 -520+560=40$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę 40.

$$a=-520 b=560$$

Przepisz 13x^{2}+40x-22400 jako \left(13x^{2}-520x\right)+\left(560x-22400\right).

$$\left(13x^{2}-520x\right)+\left(560x-22400\right)$$

13x w pierwszej i 560 w drugiej grupie.

$$13x\left(x-40\right)+560\left(x-40\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik x-40, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(x-40\right)\left(13x+560\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: x-40=0 i 13x+560=0.

$$x=40 x=-\frac{560}{13}$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$13x^{2}+40x-22400=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 13 do a, 40 do b i -22400 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-40±\sqrt{40^{2}-4\times 13\left(-22400\right)}}{2\times 13}$$

Podnieś do kwadratu 40.

$$x=\frac{-40±\sqrt{1600-4\times 13\left(-22400\right)}}{2\times 13}$$

Pomnóż -4 przez 13.

$$x=\frac{-40±\sqrt{1600-52\left(-22400\right)}}{2\times 13}$$

Pomnóż -52 przez -22400.

$$x=\frac{-40±\sqrt{1600+1164800}}{2\times 13}$$

Dodaj 1600 do 1164800.

$$x=\frac{-40±\sqrt{1166400}}{2\times 13}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 1166400.

$$x=\frac{-40±1080}{2\times 13}$$

Pomnóż 2 przez 13.

$$x=\frac{-40±1080}{26}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-40±1080}{26} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj -40 do 1080.

$$x=\frac{1040}{26}$$

Podziel 1040 przez 26.

$$x=40$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-40±1080}{26} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 1080 od -40.

$$x=-\frac{1120}{26}$$

Zredukuj ułamek \frac{-1120}{26} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 2.

$$x=-\frac{560}{13}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=40 x=-\frac{560}{13}$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$13x^{2}+40x-22400=0$$

Dodaj 22400 do obu stron równania.

$$13x^{2}+40x-22400-\left(-22400\right)=-\left(-22400\right)$$

Odjęcie -22400 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$13x^{2}+40x=-\left(-22400\right)$$

Odejmij -22400 od 0.

$$13x^{2}+40x=22400$$

Podziel obie strony przez 13.

$$\frac{13x^{2}+40x}{13}=\frac{22400}{13}$$

Dzielenie przez 13 cofa mnożenie przez 13.

$$x^{2}+\frac{40}{13}x=\frac{22400}{13}$$

Podziel \frac{40}{13}, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać \frac{20}{13}. Następnie Dodaj kwadrat \frac{20}{13} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}+\frac{40}{13}x+\left(\frac{20}{13}\right)^{2}=\frac{22400}{13}+\left(\frac{20}{13}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu \frac{20}{13}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}+\frac{40}{13}x+\frac{400}{169}=\frac{22400}{13}+\frac{400}{169}$$

Dodaj \frac{22400}{13} do \frac{400}{169}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x^{2}+\frac{40}{13}x+\frac{400}{169}=\frac{291600}{169}$$

Współczynnik x^{2}+\frac{40}{13}x+\frac{400}{169}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{20}{13}\right)^{2}=\frac{291600}{169}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x+\frac{20}{13}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{291600}{169}}$$

Uprość.

$$x+\frac{20}{13}=\frac{540}{13} x+\frac{20}{13}=-\frac{540}{13}$$

Odejmij \frac{20}{13} od obu stron równania.

$$x=40 x=-\frac{560}{13}$$