Rozwiąż 120x^2+67x-5

$$120 x ^ { 2 } + 67 x - 5$$

Rozłóż na czynniki

$$\left(15x-1\right)\left(8x+5\right)$$

Kroki rozwiązania

Umożliwia Rozdzielnik wyrażenia przez grupowanie. Najpierw należy zapisać wyrażenie jako 120x^{2}+ax+bx-5. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=67 ab=120\left(-5\right)=-600$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest dodatnie, liczba dodatnia ma większą wartość bezwzględną niż ujemna. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -600.

$$-1,600 -2,300 -3,200 -4,150 -5,120 -6,100 -8,75 -10,60 -12,50 -15,40 -20,30 -24,25$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$-1+600=599 -2+300=298 -3+200=197 -4+150=146 -5+120=115 -6+100=94 -8+75=67 -10+60=50 -12+50=38 -15+40=25 -20+30=10 -24+25=1$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę 67.

$$a=-8 b=75$$

Przepisz 120x^{2}+67x-5 jako \left(120x^{2}-8x\right)+\left(75x-5\right).

$$\left(120x^{2}-8x\right)+\left(75x-5\right)$$

8x w pierwszej i 5 w drugiej grupie.

$$8x\left(15x-1\right)+5\left(15x-1\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik 15x-1, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(15x-1\right)\left(8x+5\right)$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wielomian kwadratowy można rozkładać na czynniki przy użyciu przekształcenia ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), gdzie x_{1} i x_{2} to rozwiązania równania kwadratowego ax^{2}+bx+c=0.

$$120x^{2}+67x-5=0$$

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$x=\frac{-67±\sqrt{67^{2}-4\times 120\left(-5\right)}}{2\times 120}$$

Podnieś do kwadratu 67.

$$x=\frac{-67±\sqrt{4489-4\times 120\left(-5\right)}}{2\times 120}$$

Pomnóż -4 przez 120.

$$x=\frac{-67±\sqrt{4489-480\left(-5\right)}}{2\times 120}$$

Pomnóż -480 przez -5.

$$x=\frac{-67±\sqrt{4489+2400}}{2\times 120}$$

Dodaj 4489 do 2400.

$$x=\frac{-67±\sqrt{6889}}{2\times 120}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 6889.

$$x=\frac{-67±83}{2\times 120}$$

Pomnóż 2 przez 120.

$$x=\frac{-67±83}{240}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-67±83}{240} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj -67 do 83.

$$x=\frac{16}{240}$$

Zredukuj ułamek \frac{16}{240} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 16.

$$x=\frac{1}{15}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-67±83}{240} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 83 od -67.

$$x=-\frac{150}{240}$$

Zredukuj ułamek \frac{-150}{240} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 30.

$$x=-\frac{5}{8}$$

Rozłóż pierwotne wyrażenie na czynniki w następujący sposób: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Wstaw wartość \frac{1}{15} za x_{1}, a wartość -\frac{5}{8} za x_{2}.

$$120x^{2}+67x-5=120\left(x-\frac{1}{15}\right)\left(x-\left(-\frac{5}{8}\right)\right)$$

Uprość wszystkie wyrażenia w postaci p-\left(-q\right) do postaci p+q.

$$120x^{2}+67x-5=120\left(x-\frac{1}{15}\right)\left(x+\frac{5}{8}\right)$$

Odejmij x od \frac{1}{15}, znajdując wspólny mianownik i odejmując liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$120x^{2}+67x-5=120\times \frac{15x-1}{15}\left(x+\frac{5}{8}\right)$$

Dodaj \frac{5}{8} do x, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$120x^{2}+67x-5=120\times \frac{15x-1}{15}\times \frac{8x+5}{8}$$

Pomnóż \frac{15x-1}{15} przez \frac{8x+5}{8}, mnożąc oba liczniki i oba mianowniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$120x^{2}+67x-5=120\times \frac{\left(15x-1\right)\left(8x+5\right)}{15\times 8}$$

Pomnóż 15 przez 8.

$$120x^{2}+67x-5=120\times \frac{\left(15x-1\right)\left(8x+5\right)}{120}$$

Skróć największy wspólny dzielnik 120 w 120 i 120.

$$120x^{2}+67x-5=\left(15x-1\right)\left(8x+5\right)$$

Oblicz

$$\left(15x-1\right)\left(8x+5\right)$$