Rozwiąż 120x^2+8000x-92000=0

$$120 { x }^{ 2 } +8000x-92000=0$$

Rozwiąż względem x

$$x = -\frac{230}{3} = -76\frac{2}{3} \approx -76,666666667$$

$$x=10$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Podziel obie strony przez 40.

$$3x^{2}+200x-2300=0$$

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: 3x^{2}+ax+bx-2300. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=200 ab=3\left(-2300\right)=-6900$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest dodatnie, liczba dodatnia ma większą wartość bezwzględną niż ujemna. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -6900.

$$-1,6900 -2,3450 -3,2300 -4,1725 -5,1380 -6,1150 -10,690 -12,575 -15,460 -20,345 -23,300 -25,276 -30,230 -46,150 -50,138 -60,115 -69,100 -75,92$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$-1+6900=6899 -2+3450=3448 -3+2300=2297 -4+1725=1721 -5+1380=1375 -6+1150=1144 -10+690=680 -12+575=563 -15+460=445 -20+345=325 -23+300=277 -25+276=251 -30+230=200 -46+150=104 -50+138=88 -60+115=55 -69+100=31 -75+92=17$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę 200.

$$a=-30 b=230$$

Przepisz 3x^{2}+200x-2300 jako \left(3x^{2}-30x\right)+\left(230x-2300\right).

$$\left(3x^{2}-30x\right)+\left(230x-2300\right)$$

3x w pierwszej i 230 w drugiej grupie.

$$3x\left(x-10\right)+230\left(x-10\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik x-10, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(x-10\right)\left(3x+230\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: x-10=0 i 3x+230=0.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$120x^{2}+8000x-92000=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 120 do a, 8000 do b i -92000 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{8000^{2}-4\times 120\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

Podnieś do kwadratu 8000.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000-4\times 120\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

Pomnóż -4 przez 120.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000-480\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

Pomnóż -480 przez -92000.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000+44160000}}{2\times 120}$$

Dodaj 64000000 do 44160000.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{108160000}}{2\times 120}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 108160000.

$$x=\frac{-8000±10400}{2\times 120}$$

Pomnóż 2 przez 120.

$$x=\frac{-8000±10400}{240}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-8000±10400}{240} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj -8000 do 10400.

$$x=\frac{2400}{240}$$

Podziel 2400 przez 240.

$$x=10$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-8000±10400}{240} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 10400 od -8000.

$$x=-\frac{18400}{240}$$

Zredukuj ułamek \frac{-18400}{240} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 80.

$$x=-\frac{230}{3}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$120x^{2}+8000x-92000=0$$

Dodaj 92000 do obu stron równania.

$$120x^{2}+8000x-92000-\left(-92000\right)=-\left(-92000\right)$$

Odjęcie -92000 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$120x^{2}+8000x=-\left(-92000\right)$$

Odejmij -92000 od 0.

$$120x^{2}+8000x=92000$$

Podziel obie strony przez 120.

$$\frac{120x^{2}+8000x}{120}=\frac{92000}{120}$$

Dzielenie przez 120 cofa mnożenie przez 120.

$$x^{2}+\frac{8000}{120}x=\frac{92000}{120}$$

Zredukuj ułamek \frac{8000}{120} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 40.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{92000}{120}$$

Zredukuj ułamek \frac{92000}{120} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 40.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{2300}{3}$$

Podziel \frac{200}{3}, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać \frac{100}{3}. Następnie Dodaj kwadrat \frac{100}{3} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{2300}{3}+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu \frac{100}{3}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{2300}{3}+\frac{10000}{9}$$

Dodaj \frac{2300}{3} do \frac{10000}{9}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{16900}{9}$$

Współczynnik x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{16900}{9}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16900}{9}}$$

Uprość.

$$x+\frac{100}{3}=\frac{130}{3} x+\frac{100}{3}=-\frac{130}{3}$$

Odejmij \frac{100}{3} od obu stron równania.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$