Rozwiąż 12z^2+1z-6=0

$$12 z ^ { 2 } + 1 z - 6 = 0$$

Rozwiąż względem z

$$z=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

$$z=-\frac{3}{4}=-0,75$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: 12z^{2}+az+bz-6. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=1 ab=12\left(-6\right)=-72$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest dodatnie, liczba dodatnia ma większą wartość bezwzględną niż ujemna. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -72.

$$-1,72 -2,36 -3,24 -4,18 -6,12 -8,9$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$-1+72=71 -2+36=34 -3+24=21 -4+18=14 -6+12=6 -8+9=1$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę 1.

$$a=-8 b=9$$

Przepisz 12z^{2}+z-6 jako \left(12z^{2}-8z\right)+\left(9z-6\right).

$$\left(12z^{2}-8z\right)+\left(9z-6\right)$$

4z w pierwszej i 3 w drugiej grupie.

$$4z\left(3z-2\right)+3\left(3z-2\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik 3z-2, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(3z-2\right)\left(4z+3\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: 3z-2=0 i 4z+3=0.

$$z=\frac{2}{3} z=-\frac{3}{4}$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$12z^{2}+z-6=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 12 do a, 1 do b i -6 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 12\left(-6\right)}}{2\times 12}$$

Podnieś do kwadratu 1.

$$z=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 12\left(-6\right)}}{2\times 12}$$

Pomnóż -4 przez 12.

$$z=\frac{-1±\sqrt{1-48\left(-6\right)}}{2\times 12}$$

Pomnóż -48 przez -6.

$$z=\frac{-1±\sqrt{1+288}}{2\times 12}$$

Dodaj 1 do 288.

$$z=\frac{-1±\sqrt{289}}{2\times 12}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 289.

$$z=\frac{-1±17}{2\times 12}$$

Pomnóż 2 przez 12.

$$z=\frac{-1±17}{24}$$

Teraz rozwiąż równanie z=\frac{-1±17}{24} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj -1 do 17.

$$z=\frac{16}{24}$$

Zredukuj ułamek \frac{16}{24} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 8.

$$z=\frac{2}{3}$$

Teraz rozwiąż równanie z=\frac{-1±17}{24} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 17 od -1.

$$z=-\frac{18}{24}$$

Zredukuj ułamek \frac{-18}{24} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 6.

$$z=-\frac{3}{4}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$z=\frac{2}{3} z=-\frac{3}{4}$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$12z^{2}+z-6=0$$

Dodaj 6 do obu stron równania.

$$12z^{2}+z-6-\left(-6\right)=-\left(-6\right)$$

Odjęcie -6 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$12z^{2}+z=-\left(-6\right)$$

Odejmij -6 od 0.

$$12z^{2}+z=6$$

Podziel obie strony przez 12.

$$\frac{12z^{2}+z}{12}=\frac{6}{12}$$

Dzielenie przez 12 cofa mnożenie przez 12.

$$z^{2}+\frac{1}{12}z=\frac{6}{12}$$

Zredukuj ułamek \frac{6}{12} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 6.

$$z^{2}+\frac{1}{12}z=\frac{1}{2}$$

Podziel \frac{1}{12}, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać \frac{1}{24}. Następnie Dodaj kwadrat \frac{1}{24} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$z^{2}+\frac{1}{12}z+\left(\frac{1}{24}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{24}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu \frac{1}{24}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$z^{2}+\frac{1}{12}z+\frac{1}{576}=\frac{1}{2}+\frac{1}{576}$$

Dodaj \frac{1}{2} do \frac{1}{576}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$z^{2}+\frac{1}{12}z+\frac{1}{576}=\frac{289}{576}$$

Współczynnik z^{2}+\frac{1}{12}z+\frac{1}{576}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z+\frac{1}{24}\right)^{2}=\frac{289}{576}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(z+\frac{1}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{576}}$$

Uprość.

$$z+\frac{1}{24}=\frac{17}{24} z+\frac{1}{24}=-\frac{17}{24}$$

Odejmij \frac{1}{24} od obu stron równania.

$$z=\frac{2}{3} z=-\frac{3}{4}$$