Rozwiąż 12r^2-11r-15=0

$$12 r ^ { 2 } - 11 r - 15 = 0$$

Rozwiąż względem r

$$r=-\frac{3}{4}=-0,75$$

$$r = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1,666666667$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: 12r^{2}+ar+br-15. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-11 ab=12\left(-15\right)=-180$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest ujemne, liczba ujemna ma większą wartość bezwzględną niż dodatnia. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę -11.

$$a=-20 b=9$$

Przepisz 12r^{2}-11r-15 jako \left(12r^{2}-20r\right)+\left(9r-15\right).

$$\left(12r^{2}-20r\right)+\left(9r-15\right)$$

4r w pierwszej i 3 w drugiej grupie.

$$4r\left(3r-5\right)+3\left(3r-5\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik 3r-5, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(3r-5\right)\left(4r+3\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: 3r-5=0 i 4r+3=0.

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$12r^{2}-11r-15=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 12 do a, -11 do b i -15 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

Podnieś do kwadratu -11.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

Pomnóż -4 przez 12.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-48\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

Pomnóż -48 przez -15.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+720}}{2\times 12}$$

Dodaj 121 do 720.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{841}}{2\times 12}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 841.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±29}{2\times 12}$$

Liczba przeciwna do -11 to 11.

$$r=\frac{11±29}{2\times 12}$$

Pomnóż 2 przez 12.

$$r=\frac{11±29}{24}$$

Teraz rozwiąż równanie r=\frac{11±29}{24} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj 11 do 29.

$$r=\frac{40}{24}$$

Zredukuj ułamek \frac{40}{24} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 8.

$$r=\frac{5}{3}$$

Teraz rozwiąż równanie r=\frac{11±29}{24} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 29 od 11.

$$r=-\frac{18}{24}$$

Zredukuj ułamek \frac{-18}{24} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 6.

$$r=-\frac{3}{4}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$12r^{2}-11r-15=0$$

Dodaj 15 do obu stron równania.

$$12r^{2}-11r-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Odjęcie -15 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$12r^{2}-11r=-\left(-15\right)$$

Odejmij -15 od 0.

$$12r^{2}-11r=15$$

Podziel obie strony przez 12.

$$\frac{12r^{2}-11r}{12}=\frac{15}{12}$$

Dzielenie przez 12 cofa mnożenie przez 12.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r=\frac{15}{12}$$

Zredukuj ułamek \frac{15}{12} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 3.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r=\frac{5}{4}$$

Podziel -\frac{11}{12}, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać -\frac{11}{24}. Następnie Dodaj kwadrat -\frac{11}{24} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\left(-\frac{11}{24}\right)^{2}=\frac{5}{4}+\left(-\frac{11}{24}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu -\frac{11}{24}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}=\frac{5}{4}+\frac{121}{576}$$

Dodaj \frac{5}{4} do \frac{121}{576}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}=\frac{841}{576}$$

Współczynnik r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r-\frac{11}{24}\right)^{2}=\frac{841}{576}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(r-\frac{11}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{576}}$$

Uprość.

$$r-\frac{11}{24}=\frac{29}{24} r-\frac{11}{24}=-\frac{29}{24}$$

Dodaj \frac{11}{24} do obu stron równania.

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$