Rozwiąż 12(n-4)-30=n^2-9n+12

$$12 ( n - 4 ) - 30 = n ^ { 2 } - 9 n + 12$$

Rozwiąż względem n

$$n=6$$

$$n=15$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć 12 przez n-4.

$$12n-48-30=n^{2}-9n+12$$

Odejmij 30 od -48, aby uzyskać -78.

$$12n-78=n^{2}-9n+12$$

Odejmij n^{2} od obu stron.

$$12n-78-n^{2}=-9n+12$$

Dodaj 9n do obu stron.

$$12n-78-n^{2}+9n=12$$

Połącz 12n i 9n, aby uzyskać 21n.

$$21n-78-n^{2}=12$$

Odejmij 12 od obu stron.

$$21n-78-n^{2}-12=0$$

Odejmij 12 od -78, aby uzyskać -90.

$$21n-90-n^{2}=0$$

Zmień postać wielomianu, aby nadać mu postać standardową. Umieść czynniki w kolejności od najwyższej do najniższej potęgi.

$$-n^{2}+21n-90=0$$

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: -n^{2}+an+bn-90. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=21 ab=-\left(-90\right)=90$$

Ponieważ ab ma wartość dodatnią, a i b mają ten sam znak. Ponieważ a+b ma wartość dodatnią, a i b są dodatnie. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn 90.

$$1,90 2,45 3,30 5,18 6,15 9,10$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$1+90=91 2+45=47 3+30=33 5+18=23 6+15=21 9+10=19$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę 21.

$$a=15 b=6$$

Przepisz -n^{2}+21n-90 jako \left(-n^{2}+15n\right)+\left(6n-90\right).

$$\left(-n^{2}+15n\right)+\left(6n-90\right)$$

Wyłącz przed nawias -n w pierwszej grupie i 6 w drugiej grupie.

$$-n\left(n-15\right)+6\left(n-15\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik n-15, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(n-15\right)\left(-n+6\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: n-15=0 i -n+6=0.

$$n=15 n=6$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć 12 przez n-4.

$$12n-48-30=n^{2}-9n+12$$

Odejmij 30 od -48, aby uzyskać -78.

$$12n-78=n^{2}-9n+12$$

Odejmij n^{2} od obu stron.

$$12n-78-n^{2}=-9n+12$$

Dodaj 9n do obu stron.

$$12n-78-n^{2}+9n=12$$

Połącz 12n i 9n, aby uzyskać 21n.

$$21n-78-n^{2}=12$$

Odejmij 12 od obu stron.

$$21n-78-n^{2}-12=0$$

Odejmij 12 od -78, aby uzyskać -90.

$$21n-90-n^{2}=0$$

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$-n^{2}+21n-90=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw -1 do a, 21 do b i -90 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-21±\sqrt{21^{2}-4\left(-1\right)\left(-90\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Podnieś do kwadratu 21.

$$n=\frac{-21±\sqrt{441-4\left(-1\right)\left(-90\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Pomnóż -4 przez -1.

$$n=\frac{-21±\sqrt{441+4\left(-90\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Pomnóż 4 przez -90.

$$n=\frac{-21±\sqrt{441-360}}{2\left(-1\right)}$$

Dodaj 441 do -360.

$$n=\frac{-21±\sqrt{81}}{2\left(-1\right)}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 81.

$$n=\frac{-21±9}{2\left(-1\right)}$$

Pomnóż 2 przez -1.

$$n=\frac{-21±9}{-2}$$

Teraz rozwiąż równanie n=\frac{-21±9}{-2} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj -21 do 9.

$$n=-\frac{12}{-2}$$

Podziel -12 przez -2.

$$n=6$$

Teraz rozwiąż równanie n=\frac{-21±9}{-2} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 9 od -21.

$$n=-\frac{30}{-2}$$

Podziel -30 przez -2.

$$n=15$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$n=6 n=15$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć 12 przez n-4.

$$12n-48-30=n^{2}-9n+12$$

Odejmij 30 od -48, aby uzyskać -78.

$$12n-78=n^{2}-9n+12$$

Odejmij n^{2} od obu stron.

$$12n-78-n^{2}=-9n+12$$

Dodaj 9n do obu stron.

$$12n-78-n^{2}+9n=12$$

Połącz 12n i 9n, aby uzyskać 21n.

$$21n-78-n^{2}=12$$

Dodaj 78 do obu stron.

$$21n-n^{2}=12+78$$

Dodaj 12 i 78, aby uzyskać 90.

$$21n-n^{2}=90$$

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$-n^{2}+21n=90$$

Podziel obie strony przez -1.

$$\frac{-n^{2}+21n}{-1}=\frac{90}{-1}$$

Dzielenie przez -1 cofa mnożenie przez -1.

$$n^{2}+\frac{21}{-1}n=\frac{90}{-1}$$

Podziel 21 przez -1.

$$n^{2}-21n=\frac{90}{-1}$$

Podziel 90 przez -1.

$$n^{2}-21n=-90$$

Podziel -21, współczynnik x, przez 2, aby otrzymać -\frac{21}{2}. Następnie dodaj kwadrat liczby -\frac{21}{2} do obu stron równania. Ten krok sprawi, że lewa strona tego równania stanie się liczbą kwadratową.

$$n^{2}-21n+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}=-90+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu -\frac{21}{2}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$n^{2}-21n+\frac{441}{4}=-90+\frac{441}{4}$$

Dodaj -90 do \frac{441}{4}.

$$n^{2}-21n+\frac{441}{4}=\frac{81}{4}$$

Rozłóż na czynniki wyrażenie n^{2}-21n+\frac{441}{4}. Ogólnie, gdy wyrażenie x^{2}+bx+c jest liczbą kwadratową, zawsze można je rozłożyć na czynniki jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{21}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(n-\frac{21}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

Uprość.

$$n-\frac{21}{2}=\frac{9}{2} n-\frac{21}{2}=-\frac{9}{2}$$

Dodaj \frac{21}{2} do obu stron równania.

$$n=15 n=6$$