Rozwiąż 12x^2+32x+5=0

$$12 { x }^{ 2 } +32x+5=0$$

Rozwiąż względem x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x=-\frac{1}{6}\approx -0.166666667$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: 12x^{2}+ax+bx+5. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=32 ab=12\times 5=60$$

Ponieważ ab ma wartość dodatnią, a i b mają ten sam znak. Ponieważ a+b ma wartość dodatnią, a i b są dodatnie. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn 60.

$$1,60 2,30 3,20 4,15 5,12 6,10$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$1+60=61 2+30=32 3+20=23 4+15=19 5+12=17 6+10=16$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę 32.

$$a=2 b=30$$

Przepisz 12x^{2}+32x+5 jako \left(12x^{2}+2x\right)+\left(30x+5\right).

$$\left(12x^{2}+2x\right)+\left(30x+5\right)$$

Wyłącz przed nawias 2x w pierwszej grupie i 5 w drugiej grupie.

$$2x\left(6x+1\right)+5\left(6x+1\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik 6x+1, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(6x+1\right)\left(2x+5\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: 6x+1=0 i 2x+5=0.

$$x=-\frac{1}{6} x=-\frac{5}{2}$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$12x^{2}+32x+5=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 12 do a, 32 do b i 5 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-32±\sqrt{32^{2}-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

Podnieś do kwadratu 32.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

Pomnóż -4 przez 12.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-48\times 5}}{2\times 12}$$

Pomnóż -48 przez 5.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-240}}{2\times 12}$$

Dodaj 1024 do -240.

$$x=\frac{-32±\sqrt{784}}{2\times 12}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 784.

$$x=\frac{-32±28}{2\times 12}$$

Pomnóż 2 przez 12.

$$x=\frac{-32±28}{24}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-32±28}{24} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj -32 do 28.

$$x=-\frac{4}{24}$$

Zredukuj ułamek \frac{-4}{24} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 4.

$$x=-\frac{1}{6}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-32±28}{24} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 28 od -32.

$$x=-\frac{60}{24}$$

Zredukuj ułamek \frac{-60}{24} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 12.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=-\frac{1}{6} x=-\frac{5}{2}$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+32x+5=0$$

Odejmij 5 od obu stron równania.

$$12x^{2}+32x+5-5=-5$$

Odjęcie 5 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$12x^{2}+32x=-5$$

Podziel obie strony przez 12.

$$\frac{12x^{2}+32x}{12}=-\frac{5}{12}$$

Dzielenie przez 12 cofa mnożenie przez 12.

$$x^{2}+\frac{32}{12}x=-\frac{5}{12}$$

Zredukuj ułamek \frac{32}{12} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 4.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=-\frac{5}{12}$$

Podziel \frac{8}{3}, współczynnik x, przez 2, aby otrzymać \frac{4}{3}. Następnie dodaj kwadrat liczby \frac{4}{3} do obu stron równania. Ten krok sprawi, że lewa strona tego równania stanie się liczbą kwadratową.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=-\frac{5}{12}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu \frac{4}{3}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=-\frac{5}{12}+\frac{16}{9}$$

Dodaj -\frac{5}{12} do \frac{16}{9}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{49}{36}$$

Rozłóż na czynniki wyrażenie x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. Ogólnie, gdy wyrażenie x^{2}+bx+c jest liczbą kwadratową, zawsze można je rozłożyć na czynniki jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{49}{36}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{36}}$$

Uprość.

$$x+\frac{4}{3}=\frac{7}{6} x+\frac{4}{3}=-\frac{7}{6}$$

Odejmij \frac{4}{3} od obu stron równania.

$$x=-\frac{1}{6} x=-\frac{5}{2}$$