Rozwiąż 12x^2+13x+3=0

$$12 { x }^{ 2 } +13x+3 = 0$$

Rozwiąż względem x

$$x=-\frac{3}{4}=-0,75$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: 12x^{2}+ax+bx+3. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=13 ab=12\times 3=36$$

Ponieważ ab ma wartość dodatnią, a i b mają ten sam znak. Ponieważ a+b ma wartość dodatnią, a i b są dodatnie. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn 36.

$$1,36 2,18 3,12 4,9 6,6$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$1+36=37 2+18=20 3+12=15 4+9=13 6+6=12$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę 13.

$$a=4 b=9$$

Przepisz 12x^{2}+13x+3 jako \left(12x^{2}+4x\right)+\left(9x+3\right).

$$\left(12x^{2}+4x\right)+\left(9x+3\right)$$

4x w pierwszej i 3 w drugiej grupie.

$$4x\left(3x+1\right)+3\left(3x+1\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik 3x+1, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(3x+1\right)\left(4x+3\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: 3x+1=0 i 4x+3=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{4}$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$12x^{2}+13x+3=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 12 do a, 13 do b i 3 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\times 12\times 3}}{2\times 12}$$

Podnieś do kwadratu 13.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\times 12\times 3}}{2\times 12}$$

Pomnóż -4 przez 12.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-48\times 3}}{2\times 12}$$

Pomnóż -48 przez 3.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-144}}{2\times 12}$$

Dodaj 169 do -144.

$$x=\frac{-13±\sqrt{25}}{2\times 12}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 25.

$$x=\frac{-13±5}{2\times 12}$$

Pomnóż 2 przez 12.

$$x=\frac{-13±5}{24}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-13±5}{24} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj -13 do 5.

$$x=-\frac{8}{24}$$

Zredukuj ułamek \frac{-8}{24} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 8.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-13±5}{24} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 5 od -13.

$$x=-\frac{18}{24}$$

Zredukuj ułamek \frac{-18}{24} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 6.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{4}$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+13x+3=0$$

Odejmij 3 od obu stron równania.

$$12x^{2}+13x+3-3=-3$$

Odjęcie 3 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$12x^{2}+13x=-3$$

Podziel obie strony przez 12.

$$\frac{12x^{2}+13x}{12}=-\frac{3}{12}$$

Dzielenie przez 12 cofa mnożenie przez 12.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x=-\frac{3}{12}$$

Zredukuj ułamek \frac{-3}{12} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 3.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x=-\frac{1}{4}$$

Podziel \frac{13}{12}, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać \frac{13}{24}. Następnie Dodaj kwadrat \frac{13}{24} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x+\left(\frac{13}{24}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(\frac{13}{24}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu \frac{13}{24}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x+\frac{169}{576}=-\frac{1}{4}+\frac{169}{576}$$

Dodaj -\frac{1}{4} do \frac{169}{576}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x+\frac{169}{576}=\frac{25}{576}$$

Współczynnik x^{2}+\frac{13}{12}x+\frac{169}{576}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{13}{24}\right)^{2}=\frac{25}{576}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{576}}$$

Uprość.

$$x+\frac{13}{24}=\frac{5}{24} x+\frac{13}{24}=-\frac{5}{24}$$

Odejmij \frac{13}{24} od obu stron równania.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{4}$$