Rozwiąż 11x^2-31x-6=0

$$11 x ^ { 2 } - 31 x - 6 = 0$$

Rozwiąż względem x

$$x=-\frac{2}{11}\approx -0,181818182$$

$$x=3$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: 11x^{2}+ax+bx-6. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-31 ab=11\left(-6\right)=-66$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest ujemne, liczba ujemna ma większą wartość bezwzględną niż dodatnia. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -66.

$$1,-66 2,-33 3,-22 6,-11$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$1-66=-65 2-33=-31 3-22=-19 6-11=-5$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę -31.

$$a=-33 b=2$$

Przepisz 11x^{2}-31x-6 jako \left(11x^{2}-33x\right)+\left(2x-6\right).

$$\left(11x^{2}-33x\right)+\left(2x-6\right)$$

11x w pierwszej i 2 w drugiej grupie.

$$11x\left(x-3\right)+2\left(x-3\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik x-3, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(x-3\right)\left(11x+2\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: x-3=0 i 11x+2=0.

$$x=3 x=-\frac{2}{11}$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$11x^{2}-31x-6=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 11 do a, -31 do b i -6 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{\left(-31\right)^{2}-4\times 11\left(-6\right)}}{2\times 11}$$

Podnieś do kwadratu -31.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-4\times 11\left(-6\right)}}{2\times 11}$$

Pomnóż -4 przez 11.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-44\left(-6\right)}}{2\times 11}$$

Pomnóż -44 przez -6.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961+264}}{2\times 11}$$

Dodaj 961 do 264.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{1225}}{2\times 11}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 1225.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±35}{2\times 11}$$

Liczba przeciwna do -31 to 31.

$$x=\frac{31±35}{2\times 11}$$

Pomnóż 2 przez 11.

$$x=\frac{31±35}{22}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{31±35}{22} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj 31 do 35.

$$x=\frac{66}{22}$$

Podziel 66 przez 22.

$$x=3$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{31±35}{22} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 35 od 31.

$$x=-\frac{4}{22}$$

Zredukuj ułamek \frac{-4}{22} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 2.

$$x=-\frac{2}{11}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=3 x=-\frac{2}{11}$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$11x^{2}-31x-6=0$$

Dodaj 6 do obu stron równania.

$$11x^{2}-31x-6-\left(-6\right)=-\left(-6\right)$$

Odjęcie -6 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$11x^{2}-31x=-\left(-6\right)$$

Odejmij -6 od 0.

$$11x^{2}-31x=6$$

Podziel obie strony przez 11.

$$\frac{11x^{2}-31x}{11}=\frac{6}{11}$$

Dzielenie przez 11 cofa mnożenie przez 11.

$$x^{2}-\frac{31}{11}x=\frac{6}{11}$$

Podziel -\frac{31}{11}, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać -\frac{31}{22}. Następnie Dodaj kwadrat -\frac{31}{22} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}-\frac{31}{11}x+\left(-\frac{31}{22}\right)^{2}=\frac{6}{11}+\left(-\frac{31}{22}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu -\frac{31}{22}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}-\frac{31}{11}x+\frac{961}{484}=\frac{6}{11}+\frac{961}{484}$$

Dodaj \frac{6}{11} do \frac{961}{484}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x^{2}-\frac{31}{11}x+\frac{961}{484}=\frac{1225}{484}$$

Współczynnik x^{2}-\frac{31}{11}x+\frac{961}{484}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{31}{22}\right)^{2}=\frac{1225}{484}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x-\frac{31}{22}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1225}{484}}$$

Uprość.

$$x-\frac{31}{22}=\frac{35}{22} x-\frac{31}{22}=-\frac{35}{22}$$

Dodaj \frac{31}{22} do obu stron równania.

$$x=3 x=-\frac{2}{11}$$