Rozwiąż 10x^2-3x-1=0

$$10 { x }^{ 2 } -3x-1=0$$

Rozwiąż względem x

$$x=-\frac{1}{5}=-0,2$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: 10x^{2}+ax+bx-1. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-3 ab=10\left(-1\right)=-10$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest ujemne, liczba ujemna ma większą wartość bezwzględną niż dodatnia. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -10.

$$1,-10 2,-5$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$1-10=-9 2-5=-3$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę -3.

$$a=-5 b=2$$

Przepisz 10x^{2}-3x-1 jako \left(10x^{2}-5x\right)+\left(2x-1\right).

$$\left(10x^{2}-5x\right)+\left(2x-1\right)$$

Wyłącz przed nawias 5x w 10x^{2}-5x.

$$5x\left(2x-1\right)+2x-1$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik 2x-1, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(2x-1\right)\left(5x+1\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: 2x-1=0 i 5x+1=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{1}{5}$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$10x^{2}-3x-1=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 10 do a, -3 do b i -1 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Podnieś do kwadratu -3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Pomnóż -4 przez 10.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-40\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Pomnóż -40 przez -1.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+40}}{2\times 10}$$

Dodaj 9 do 40.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{49}}{2\times 10}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 49.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±7}{2\times 10}$$

Liczba przeciwna do -3 to 3.

$$x=\frac{3±7}{2\times 10}$$

Pomnóż 2 przez 10.

$$x=\frac{3±7}{20}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{3±7}{20} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj 3 do 7.

$$x=\frac{10}{20}$$

Zredukuj ułamek \frac{10}{20} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 10.

$$x=\frac{1}{2}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{3±7}{20} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 7 od 3.

$$x=-\frac{4}{20}$$

Zredukuj ułamek \frac{-4}{20} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 4.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{1}{5}$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$10x^{2}-3x-1=0$$

Dodaj 1 do obu stron równania.

$$10x^{2}-3x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Odjęcie -1 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$10x^{2}-3x=-\left(-1\right)$$

Odejmij -1 od 0.

$$10x^{2}-3x=1$$

Podziel obie strony przez 10.

$$\frac{10x^{2}-3x}{10}=\frac{1}{10}$$

Dzielenie przez 10 cofa mnożenie przez 10.

$$x^{2}-\frac{3}{10}x=\frac{1}{10}$$

Podziel -\frac{3}{10}, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać -\frac{3}{20}. Następnie Dodaj kwadrat -\frac{3}{20} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}-\frac{3}{10}x+\left(-\frac{3}{20}\right)^{2}=\frac{1}{10}+\left(-\frac{3}{20}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu -\frac{3}{20}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}-\frac{3}{10}x+\frac{9}{400}=\frac{1}{10}+\frac{9}{400}$$

Dodaj \frac{1}{10} do \frac{9}{400}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x^{2}-\frac{3}{10}x+\frac{9}{400}=\frac{49}{400}$$

Współczynnik x^{2}-\frac{3}{10}x+\frac{9}{400}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{20}\right)^{2}=\frac{49}{400}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{400}}$$

Uprość.

$$x-\frac{3}{20}=\frac{7}{20} x-\frac{3}{20}=-\frac{7}{20}$$

Dodaj \frac{3}{20} do obu stron równania.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{1}{5}$$