Rozwiąż 10x^2+10x+8=3x^2-10x+11

$$10 { x }^{ 2 } +10x+8=3 { x }^{ 2 } -10x+11$$

Rozwiąż względem x

$$x=-3$$

$$x=\frac{1}{7}\approx 0.142857143$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Odejmij 3x^{2} od obu stron.

$$10x^{2}+10x+8-3x^{2}=-10x+11$$

Połącz 10x^{2} i -3x^{2}, aby uzyskać 7x^{2}.

$$7x^{2}+10x+8=-10x+11$$

Dodaj 10x do obu stron.

$$7x^{2}+10x+8+10x=11$$

Połącz 10x i 10x, aby uzyskać 20x.

$$7x^{2}+20x+8=11$$

Odejmij 11 od obu stron.

$$7x^{2}+20x+8-11=0$$

Odejmij 11 od 8, aby uzyskać -3.

$$7x^{2}+20x-3=0$$

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: 7x^{2}+ax+bx-3. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=20 ab=7\left(-3\right)=-21$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest dodatnie, liczba dodatnia ma większą wartość bezwzględną niż ujemna. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -21.

$$-1,21 -3,7$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$-1+21=20 -3+7=4$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę 20.

$$a=-1 b=21$$

Przepisz 7x^{2}+20x-3 jako \left(7x^{2}-x\right)+\left(21x-3\right).

$$\left(7x^{2}-x\right)+\left(21x-3\right)$$

Wyłącz przed nawias x w pierwszej grupie i 3 w drugiej grupie.

$$x\left(7x-1\right)+3\left(7x-1\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik 7x-1, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(7x-1\right)\left(x+3\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: 7x-1=0 i x+3=0.

$$x=\frac{1}{7} x=-3$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Odejmij 3x^{2} od obu stron.

$$10x^{2}+10x+8-3x^{2}=-10x+11$$

Połącz 10x^{2} i -3x^{2}, aby uzyskać 7x^{2}.

$$7x^{2}+10x+8=-10x+11$$

Dodaj 10x do obu stron.

$$7x^{2}+10x+8+10x=11$$

Połącz 10x i 10x, aby uzyskać 20x.

$$7x^{2}+20x+8=11$$

Odejmij 11 od obu stron.

$$7x^{2}+20x+8-11=0$$

Odejmij 11 od 8, aby uzyskać -3.

$$7x^{2}+20x-3=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 7 do a, 20 do b i -3 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\times 7\left(-3\right)}}{2\times 7}$$

Podnieś do kwadratu 20.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\times 7\left(-3\right)}}{2\times 7}$$

Pomnóż -4 przez 7.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-28\left(-3\right)}}{2\times 7}$$

Pomnóż -28 przez -3.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+84}}{2\times 7}$$

Dodaj 400 do 84.

$$x=\frac{-20±\sqrt{484}}{2\times 7}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 484.

$$x=\frac{-20±22}{2\times 7}$$

Pomnóż 2 przez 7.

$$x=\frac{-20±22}{14}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-20±22}{14} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj -20 do 22.

$$x=\frac{2}{14}$$

Zredukuj ułamek \frac{2}{14} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 2.

$$x=\frac{1}{7}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-20±22}{14} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 22 od -20.

$$x=-\frac{42}{14}$$

Podziel -42 przez 14.

$$x=-3$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=\frac{1}{7} x=-3$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Odejmij 3x^{2} od obu stron.

$$10x^{2}+10x+8-3x^{2}=-10x+11$$

Połącz 10x^{2} i -3x^{2}, aby uzyskać 7x^{2}.

$$7x^{2}+10x+8=-10x+11$$

Dodaj 10x do obu stron.

$$7x^{2}+10x+8+10x=11$$

Połącz 10x i 10x, aby uzyskać 20x.

$$7x^{2}+20x+8=11$$

Odejmij 8 od obu stron.

$$7x^{2}+20x=11-8$$

Odejmij 8 od 11, aby uzyskać 3.

$$7x^{2}+20x=3$$

Podziel obie strony przez 7.

$$\frac{7x^{2}+20x}{7}=\frac{3}{7}$$

Dzielenie przez 7 cofa mnożenie przez 7.

$$x^{2}+\frac{20}{7}x=\frac{3}{7}$$

Podziel \frac{20}{7}, współczynnik x, przez 2, aby otrzymać \frac{10}{7}. Następnie dodaj kwadrat liczby \frac{10}{7} do obu stron równania. Ten krok sprawi, że lewa strona tego równania stanie się liczbą kwadratową.

$$x^{2}+\frac{20}{7}x+\left(\frac{10}{7}\right)^{2}=\frac{3}{7}+\left(\frac{10}{7}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu \frac{10}{7}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}+\frac{20}{7}x+\frac{100}{49}=\frac{3}{7}+\frac{100}{49}$$

Dodaj \frac{3}{7} do \frac{100}{49}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x^{2}+\frac{20}{7}x+\frac{100}{49}=\frac{121}{49}$$

Rozłóż na czynniki wyrażenie x^{2}+\frac{20}{7}x+\frac{100}{49}. Ogólnie, gdy wyrażenie x^{2}+bx+c jest liczbą kwadratową, zawsze można je rozłożyć na czynniki jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{10}{7}\right)^{2}=\frac{121}{49}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x+\frac{10}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{49}}$$

Uprość.

$$x+\frac{10}{7}=\frac{11}{7} x+\frac{10}{7}=-\frac{11}{7}$$

Odejmij \frac{10}{7} od obu stron równania.

$$x=\frac{1}{7} x=-3$$