Rozwiąż -4x^2+20x-47=0

$$-4 { x }^{ 2 } +20x-47=0$$

Rozwiąż względem x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}\approx 2,5-2,34520788i$$

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}\approx 2,5+2,34520788i$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$-4x^{2}+20x-47=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw -4 do a, 20 do b i -47 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-4\right)\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Podnieś do kwadratu 20.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-4\right)\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Pomnóż -4 przez -4.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+16\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Pomnóż 16 przez -47.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-752}}{2\left(-4\right)}$$

Dodaj 400 do -752.

$$x=\frac{-20±\sqrt{-352}}{2\left(-4\right)}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości -352.

$$x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{2\left(-4\right)}$$

Pomnóż 2 przez -4.

$$x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj -20 do 4i\sqrt{22}.

$$x=\frac{-20+4\sqrt{22}i}{-8}$$

Podziel -20+4i\sqrt{22} przez -8.

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 4i\sqrt{22} od -20.

$$x=\frac{-4\sqrt{22}i-20}{-8}$$

Podziel -20-4i\sqrt{22} przez -8.

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2} x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$-4x^{2}+20x-47=0$$

Dodaj 47 do obu stron równania.

$$-4x^{2}+20x-47-\left(-47\right)=-\left(-47\right)$$

Odjęcie -47 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$-4x^{2}+20x=-\left(-47\right)$$

Odejmij -47 od 0.

$$-4x^{2}+20x=47$$

Podziel obie strony przez -4.

$$\frac{-4x^{2}+20x}{-4}=\frac{47}{-4}$$

Dzielenie przez -4 cofa mnożenie przez -4.

$$x^{2}+\frac{20}{-4}x=\frac{47}{-4}$$

Podziel 20 przez -4.

$$x^{2}-5x=\frac{47}{-4}$$

Podziel 47 przez -4.

$$x^{2}-5x=-\frac{47}{4}$$

Podziel -5, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać -\frac{5}{2}. Następnie Dodaj kwadrat -\frac{5}{2} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{47}{4}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu -\frac{5}{2}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{-47+25}{4}$$

Dodaj -\frac{47}{4} do \frac{25}{4}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-\frac{11}{2}$$

Współczynnik x^{2}-5x+\frac{25}{4}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{11}{2}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{2}}$$

Uprość.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{22}i}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{22}i}{2}$$

Dodaj \frac{5}{2} do obu stron równania.

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2} x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}$$