Rozwiąż -2x^2+12x-14>0

$$- 2 x ^ { 2 } + 12 x - 14 > 0$$

Rozwiąż względem x

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Pomnóż nierówność przez -1, aby uzyskać dodatni współczynnik najwyższej potęgi w wyrażeniu -2x^{2}+12x-14. -1 jest <0, dlatego kierunek nierówności jest zmieniany.

$$2x^{2}-12x+14<0$$

Aby rozwiązać nierówność, rozłóż lewą stronę na czynniki. Wielomian kwadratowy można rozkładać na czynniki przy użyciu przekształcenia ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), gdzie x_{1} i x_{2} to rozwiązania równania kwadratowego ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}-12x+14=0$$

Wszystkie równania formularza ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Podstaw 2 do a, -12 do b i 14 do c w formule kwadratowej.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 2\times 14}}{2\times 2}$$

Wykonaj obliczenia.

$$x=\frac{12±4\sqrt{2}}{4}$$

Rozwiązać równanie x=\frac{12±4\sqrt{2}}{4} po ± jest plus i kiedy ± minus.

$$x=\sqrt{2}+3 x=3-\sqrt{2}$$

Przepisz nierówność za pomocą uzyskanych rozwiązań.

$$2\left(x-\left(\sqrt{2}+3\right)\right)\left(x-\left(3-\sqrt{2}\right)\right)<0$$

Aby iloczyn mógł być ujemny, wartości x-\left(\sqrt{2}+3\right) i x-\left(3-\sqrt{2}\right) muszą mieć przeciwne znaki. Rozważ przypadek, w którym wartość x-\left(\sqrt{2}+3\right) jest dodatnia, a wartość x-\left(3-\sqrt{2}\right) jest ujemna.

$$x-\left(\sqrt{2}+3\right)>0 x-\left(3-\sqrt{2}\right)<0$$

Jest to fałszywe dla każdego elementu x.

$$x\in \emptyset$$

Rozważ przypadek, w którym wartość x-\left(3-\sqrt{2}\right) jest dodatnia, a wartość x-\left(\sqrt{2}+3\right) jest ujemna.

$$x-\left(3-\sqrt{2}\right)>0 x-\left(\sqrt{2}+3\right)<0$$

Rozwiązanie spełniające obie nierówności to x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right).

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

Rozwiązaniem końcowym jest suma uzyskanych rozwiązań.

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$