Rozwiąż -16t^2+96t-108

$$- 16 t ^ { 2 } + 96 t - 108$$

Rozłóż na czynniki

$$4\left(3-2t\right)\left(2t-9\right)$$

Kroki rozwiązania

Wyłącz przed nawias 4.

$$4\left(-4t^{2}+24t-27\right)$$

Rozważ -4t^{2}+24t-27. Umożliwia Rozdzielnik wyrażenia przez grupowanie. Najpierw należy zapisać wyrażenie jako -4t^{2}+at+bt-27. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=24 ab=-4\left(-27\right)=108$$

Ponieważ ab ma wartość dodatnią, a i b mają ten sam znak. Ponieważ a+b ma wartość dodatnią, a i b są dodatnie. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn 108.

$$1,108 2,54 3,36 4,27 6,18 9,12$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$1+108=109 2+54=56 3+36=39 4+27=31 6+18=24 9+12=21$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę 24.

$$a=18 b=6$$

Przepisz -4t^{2}+24t-27 jako \left(-4t^{2}+18t\right)+\left(6t-27\right).

$$\left(-4t^{2}+18t\right)+\left(6t-27\right)$$

-2t w pierwszej i 3 w drugiej grupie.

$$-2t\left(2t-9\right)+3\left(2t-9\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik 2t-9, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(2t-9\right)\left(-2t+3\right)$$

Przepisz całe wyrażenie rozłożone na czynniki.

$$4\left(2t-9\right)\left(-2t+3\right)$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wielomian kwadratowy można rozkładać na czynniki przy użyciu przekształcenia ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), gdzie x_{1} i x_{2} to rozwiązania równania kwadratowego ax^{2}+bx+c=0.

$$-16t^{2}+96t-108=0$$

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$t=\frac{-96±\sqrt{96^{2}-4\left(-16\right)\left(-108\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Podnieś do kwadratu 96.

$$t=\frac{-96±\sqrt{9216-4\left(-16\right)\left(-108\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Pomnóż -4 przez -16.

$$t=\frac{-96±\sqrt{9216+64\left(-108\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Pomnóż 64 przez -108.

$$t=\frac{-96±\sqrt{9216-6912}}{2\left(-16\right)}$$

Dodaj 9216 do -6912.

$$t=\frac{-96±\sqrt{2304}}{2\left(-16\right)}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 2304.

$$t=\frac{-96±48}{2\left(-16\right)}$$

Pomnóż 2 przez -16.

$$t=\frac{-96±48}{-32}$$

Teraz rozwiąż równanie t=\frac{-96±48}{-32} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj -96 do 48.

$$t=-\frac{48}{-32}$$

Zredukuj ułamek \frac{-48}{-32} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 16.

$$t=\frac{3}{2}$$

Teraz rozwiąż równanie t=\frac{-96±48}{-32} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 48 od -96.

$$t=-\frac{144}{-32}$$

Zredukuj ułamek \frac{-144}{-32} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 16.

$$t=\frac{9}{2}$$

Rozłóż pierwotne wyrażenie na czynniki w następujący sposób: ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Wstaw wartość \frac{3}{2} za x_{1}, a wartość \frac{9}{2} za x_{2}.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\left(t-\frac{3}{2}\right)\left(t-\frac{9}{2}\right)$$

Odejmij t od \frac{3}{2}, znajdując wspólny mianownik i odejmując liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{-2t+3}{-2}\left(t-\frac{9}{2}\right)$$

Odejmij t od \frac{9}{2}, znajdując wspólny mianownik i odejmując liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{-2t+3}{-2}\times \frac{-2t+9}{-2}$$

Pomnóż \frac{-2t+3}{-2} przez \frac{-2t+9}{-2}, mnożąc oba liczniki i oba mianowniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{\left(-2t+3\right)\left(-2t+9\right)}{-2\left(-2\right)}$$

Pomnóż -2 przez -2.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{\left(-2t+3\right)\left(-2t+9\right)}{4}$$

Skróć największy wspólny dzielnik 4 w -16 i 4.

$$-16t^{2}+96t-108=-4\left(-2t+3\right)\left(-2t+9\right)$$

Oblicz

$$-16t^{2}+96t-108$$