Rozwiąż (x^2-6x-16)*sqrt{x-3}=0

$$( x ^ { 2 } - 6 x - 16 ) \cdot \sqrt { x - 3 } = 0$$

Rozwiąż względem x

$$x=3$$

$$x=8$$

Kroki rozwiązania

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć x^{2}-6x-16 przez \sqrt{x-3}.

$$x^{2}\sqrt{x-3}-6x\sqrt{x-3}-16\sqrt{x-3}=0$$

Odejmij -6x\sqrt{x-3}-16\sqrt{x-3} od obu stron równania.

$$x^{2}\sqrt{x-3}=-\left(-6x\sqrt{x-3}-16\sqrt{x-3}\right)$$

Aby znaleźć wartość przeciwną do -6x\sqrt{x-3}-16\sqrt{x-3}, znajdź wartość przeciwną każdego czynnika.

$$x^{2}\sqrt{x-3}=6x\sqrt{x-3}+16\sqrt{x-3}$$

Podnieś do kwadratu obie strony równania.

$$\left(x^{2}\sqrt{x-3}\right)^{2}=\left(6x\sqrt{x-3}+16\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

Rozwiń \left(x^{2}\sqrt{x-3}\right)^{2}.

$$\left(x^{2}\right)^{2}\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}=\left(6x\sqrt{x-3}+16\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

Aby podnieść potęgę do innej potęgi, pomnóż wykładniki. Pomnóż 2 przez 2, aby uzyskać 4.

$$x^{4}\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}=\left(6x\sqrt{x-3}+16\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

Podnieś \sqrt{x-3} do potęgi 2, aby uzyskać x-3.

$$x^{4}\left(x-3\right)=\left(6x\sqrt{x-3}+16\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć x^{4} przez x-3.

$$x^{5}-3x^{4}=\left(6x\sqrt{x-3}+16\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(6x\sqrt{x-3}+16\sqrt{x-3}\right)^{2}.

$$x^{5}-3x^{4}=36x^{2}\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}+192x\sqrt{x-3}\sqrt{x-3}+256\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

Pomnóż \sqrt{x-3} przez \sqrt{x-3}, aby uzyskać \left(\sqrt{x-3}\right)^{2}.

$$x^{5}-3x^{4}=36x^{2}\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}+192x\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}+256\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

Podnieś \sqrt{x-3} do potęgi 2, aby uzyskać x-3.

$$x^{5}-3x^{4}=36x^{2}\left(x-3\right)+192x\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}+256\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć 36x^{2} przez x-3.

$$x^{5}-3x^{4}=36x^{3}-108x^{2}+192x\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}+256\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

Podnieś \sqrt{x-3} do potęgi 2, aby uzyskać x-3.

$$x^{5}-3x^{4}=36x^{3}-108x^{2}+192x\left(x-3\right)+256\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć 192x przez x-3.

$$x^{5}-3x^{4}=36x^{3}-108x^{2}+192x^{2}-576x+256\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

Połącz -108x^{2} i 192x^{2}, aby uzyskać 84x^{2}.

$$x^{5}-3x^{4}=36x^{3}+84x^{2}-576x+256\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}$$

Podnieś \sqrt{x-3} do potęgi 2, aby uzyskać x-3.

$$x^{5}-3x^{4}=36x^{3}+84x^{2}-576x+256\left(x-3\right)$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć 256 przez x-3.

$$x^{5}-3x^{4}=36x^{3}+84x^{2}-576x+256x-768$$

Połącz -576x i 256x, aby uzyskać -320x.

$$x^{5}-3x^{4}=36x^{3}+84x^{2}-320x-768$$

Odejmij 36x^{3} od obu stron.

$$x^{5}-3x^{4}-36x^{3}=84x^{2}-320x-768$$

Odejmij 84x^{2} od obu stron.

$$x^{5}-3x^{4}-36x^{3}-84x^{2}=-320x-768$$

Dodaj 320x do obu stron.

$$x^{5}-3x^{4}-36x^{3}-84x^{2}+320x=-768$$

Dodaj 768 do obu stron.

$$x^{5}-3x^{4}-36x^{3}-84x^{2}+320x+768=0$$

Według twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wszystkie wymierne pierwiastki wielomianu można przedstawić w postaci \frac{p}{q}, gdzie p jest dzielnikiem czynnika stałego 768, a q jest dzielnikiem współczynnika wiodącego 1. Wyświetl listę wszystkich kandydatów \frac{p}{q}.

$$±768,±384,±256,±192,±128,±96,±64,±48,±32,±24,±16,±12,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

Znajdź jeden taki pierwiastek przez wypróbowanie wszystkich wartości całkowitych, zaczynając od najmniejszej wartości bezwzględnej. Jeśli nie zostaną znalezione żadne pierwiastki, wypróbuj ułamki.

$$x=-2$$

Według twierdzenia o rozkładzie wielomianu na czynniki x-k jest współczynnikiem wielomianu dla każdego pierwiastka k. Podziel x^{5}-3x^{4}-36x^{3}-84x^{2}+320x+768 przez x+2, aby uzyskać x^{4}-5x^{3}-26x^{2}-32x+384. Umożliwia rozwiązanie równania, którego wynik jest równy 0.

$$x^{4}-5x^{3}-26x^{2}-32x+384=0$$

Według twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wszystkie wymierne pierwiastki wielomianu można przedstawić w postaci \frac{p}{q}, gdzie p jest dzielnikiem czynnika stałego 384, a q jest dzielnikiem współczynnika wiodącego 1. Wyświetl listę wszystkich kandydatów \frac{p}{q}.

$$±384,±192,±128,±96,±64,±48,±32,±24,±16,±12,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

Znajdź jeden taki pierwiastek przez wypróbowanie wszystkich wartości całkowitych, zaczynając od najmniejszej wartości bezwzględnej. Jeśli nie zostaną znalezione żadne pierwiastki, wypróbuj ułamki.

$$x=3$$

Według twierdzenia o rozkładzie wielomianu na czynniki x-k jest współczynnikiem wielomianu dla każdego pierwiastka k. Podziel x^{4}-5x^{3}-26x^{2}-32x+384 przez x-3, aby uzyskać x^{3}-2x^{2}-32x-128. Umożliwia rozwiązanie równania, którego wynik jest równy 0.

$$x^{3}-2x^{2}-32x-128=0$$

Według twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wszystkie wymierne pierwiastki wielomianu można przedstawić w postaci \frac{p}{q}, gdzie p jest dzielnikiem czynnika stałego -128, a q jest dzielnikiem współczynnika wiodącego 1. Wyświetl listę wszystkich kandydatów \frac{p}{q}.

$$±128,±64,±32,±16,±8,±4,±2,±1$$

Znajdź jeden taki pierwiastek przez wypróbowanie wszystkich wartości całkowitych, zaczynając od najmniejszej wartości bezwzględnej. Jeśli nie zostaną znalezione żadne pierwiastki, wypróbuj ułamki.

$$x=8$$

Według twierdzenia o rozkładzie wielomianu na czynniki x-k jest współczynnikiem wielomianu dla każdego pierwiastka k. Podziel x^{3}-2x^{2}-32x-128 przez x-8, aby uzyskać x^{2}+6x+16. Umożliwia rozwiązanie równania, którego wynik jest równy 0.

$$x^{2}+6x+16=0$$

Wszystkie równania formularza ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Podstaw 1 do a, 6 do b i 16 do c w formule kwadratowej.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 1\times 16}}{2}$$

Wykonaj obliczenia.

$$x=\frac{-6±\sqrt{-28}}{2}$$

Pierwiastek kwadratowy liczby ujemnej nie jest zdefiniowany w ciele liczb rzeczywistych, dlatego nie ma rozwiązań.

$$x\in \emptyset$$

Wyświetl listę wszystkich znalezionych rozwiązań.

$$x=-2 x=3 x=8$$

Podstaw -2 do x w równaniu: \left(x^{2}-6x-16\right)\sqrt{x-3}=0. Wyrażenie \sqrt{-2-3} jest nieokreślone, ponieważ wyrażenie podpierwiastkowe nie może być ujemne.

$$\left(\left(-2\right)^{2}-6\left(-2\right)-16\right)\sqrt{-2-3}=0$$

Podstaw 3 do x w równaniu: \left(x^{2}-6x-16\right)\sqrt{x-3}=0.

$$\left(3^{2}-6\times 3-16\right)\sqrt{3-3}=0$$

Uprość. Wartość x=3 spełnia równanie.

$$0=0$$

Podstaw 8 do x w równaniu: \left(x^{2}-6x-16\right)\sqrt{x-3}=0.

$$\left(8^{2}-6\times 8-16\right)\sqrt{8-3}=0$$

Uprość. Wartość x=8 spełnia równanie.

$$0=0$$

Lista wszystkich rozwiązań równania \sqrt{x-3}x^{2}=6\sqrt{x-3}x+16\sqrt{x-3}.

$$x=3 x=8$$

Rozwiąż względem x (complex solution)

$$x=-2$$

$$x=8$$

$$x=3$$