Rozwiąż (x^2+sqrt{5}i)(x^2-sqrt{5}i)(x^2+sqrt{5})(x^2-sqrt{5})

$$( x ^ { 2 } + \sqrt { 5 } i ) ( x ^ { 2 } - \sqrt { 5 } i ) ( x ^ { 2 } + \sqrt { 5 } ) ( x ^ { 2 } - \sqrt { 5 } )$$

Oblicz

$$x^{8}-25$$

Kroki rozwiązania

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć x^{2}+i\sqrt{5} przez x^{2}-i\sqrt{5}.

$$\left(x^{2}\left(x^{2}-i\sqrt{5}\right)+i\sqrt{5}\left(x^{2}-i\sqrt{5}\right)\right)\left(x^{2}+\sqrt{5}\right)\left(x^{2}-\sqrt{5}\right)$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć x^{2}\left(x^{2}-i\sqrt{5}\right)+i\sqrt{5}\left(x^{2}-i\sqrt{5}\right) przez x^{2}+\sqrt{5} i połączyć podobne czynniki.

$$\left(\left(x^{2}-i\sqrt{5}\right)x^{4}+\left(1+i\right)x^{2}\left(x^{2}-i\sqrt{5}\right)\sqrt{5}+i\left(x^{2}-i\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{5}\right)^{2}\right)\left(x^{2}-\sqrt{5}\right)$$

Kwadrat liczby \sqrt{5} to 5.

$$\left(\left(x^{2}-i\sqrt{5}\right)x^{4}+\left(1+i\right)x^{2}\left(x^{2}-i\sqrt{5}\right)\sqrt{5}+i\left(x^{2}-i\sqrt{5}\right)\times 5\right)\left(x^{2}-\sqrt{5}\right)$$

Pomnóż i przez 5, aby uzyskać 5i.

$$\left(\left(x^{2}-i\sqrt{5}\right)x^{4}+\left(1+i\right)x^{2}\left(x^{2}-i\sqrt{5}\right)\sqrt{5}+5i\left(x^{2}-i\sqrt{5}\right)\right)\left(x^{2}-\sqrt{5}\right)$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć \left(x^{2}-i\sqrt{5}\right)x^{4}+\left(1+i\right)x^{2}\left(x^{2}-i\sqrt{5}\right)\sqrt{5}+5i\left(x^{2}-i\sqrt{5}\right) przez x^{2}-\sqrt{5} i połączyć podobne czynniki.

$$\left(x^{2}-i\sqrt{5}\right)x^{6}+i\left(x^{2}-i\sqrt{5}\right)x^{4}\sqrt{5}+\left(-1-i\right)\left(x^{2}-i\sqrt{5}\right)x^{2}\left(\sqrt{5}\right)^{2}+5i\left(x^{2}-i\sqrt{5}\right)x^{2}-5i\left(x^{2}-i\sqrt{5}\right)\sqrt{5}$$

Kwadrat liczby \sqrt{5} to 5.

$$\left(x^{2}-i\sqrt{5}\right)x^{6}+i\left(x^{2}-i\sqrt{5}\right)x^{4}\sqrt{5}+\left(-1-i\right)\left(x^{2}-i\sqrt{5}\right)x^{2}\times 5+5i\left(x^{2}-i\sqrt{5}\right)x^{2}-5i\left(x^{2}-i\sqrt{5}\right)\sqrt{5}$$

Pomnóż -1-i przez 5, aby uzyskać -5-5i.

$$\left(x^{2}-i\sqrt{5}\right)x^{6}+i\left(x^{2}-i\sqrt{5}\right)x^{4}\sqrt{5}+\left(-5-5i\right)\left(x^{2}-i\sqrt{5}\right)x^{2}+5i\left(x^{2}-i\sqrt{5}\right)x^{2}-5i\left(x^{2}-i\sqrt{5}\right)\sqrt{5}$$

Połącz \left(-5-5i\right)\left(x^{2}-i\sqrt{5}\right)x^{2} i 5i\left(x^{2}-i\sqrt{5}\right)x^{2}, aby uzyskać -5\left(x^{2}-i\sqrt{5}\right)x^{2}.

$$\left(x^{2}-i\sqrt{5}\right)x^{6}+i\left(x^{2}-i\sqrt{5}\right)x^{4}\sqrt{5}-5\left(x^{2}-i\sqrt{5}\right)x^{2}-5i\left(x^{2}-i\sqrt{5}\right)\sqrt{5}$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć x^{2}-i\sqrt{5} przez x^{6}.

$$x^{8}-i\sqrt{5}x^{6}+i\left(x^{2}-i\sqrt{5}\right)x^{4}\sqrt{5}-5\left(x^{2}-i\sqrt{5}\right)x^{2}-5i\left(x^{2}-i\sqrt{5}\right)\sqrt{5}$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć i przez x^{2}-i\sqrt{5}.

$$x^{8}-i\sqrt{5}x^{6}+\left(ix^{2}+\sqrt{5}\right)x^{4}\sqrt{5}-5\left(x^{2}-i\sqrt{5}\right)x^{2}-5i\left(x^{2}-i\sqrt{5}\right)\sqrt{5}$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć ix^{2}+\sqrt{5} przez x^{4}.

$$x^{8}-i\sqrt{5}x^{6}+\left(ix^{6}+\sqrt{5}x^{4}\right)\sqrt{5}-5\left(x^{2}-i\sqrt{5}\right)x^{2}-5i\left(x^{2}-i\sqrt{5}\right)\sqrt{5}$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć ix^{6}+\sqrt{5}x^{4} przez \sqrt{5}.

$$x^{8}-i\sqrt{5}x^{6}+ix^{6}\sqrt{5}+x^{4}\left(\sqrt{5}\right)^{2}-5\left(x^{2}-i\sqrt{5}\right)x^{2}-5i\left(x^{2}-i\sqrt{5}\right)\sqrt{5}$$

Kwadrat liczby \sqrt{5} to 5.

$$x^{8}-i\sqrt{5}x^{6}+ix^{6}\sqrt{5}+x^{4}\times 5-5\left(x^{2}-i\sqrt{5}\right)x^{2}-5i\left(x^{2}-i\sqrt{5}\right)\sqrt{5}$$

Połącz -i\sqrt{5}x^{6} i ix^{6}\sqrt{5}, aby uzyskać 0.

$$x^{8}+x^{4}\times 5-5\left(x^{2}-i\sqrt{5}\right)x^{2}-5i\left(x^{2}-i\sqrt{5}\right)\sqrt{5}$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć -5 przez x^{2}-i\sqrt{5}.

$$x^{8}+x^{4}\times 5+\left(-5x^{2}+5i\sqrt{5}\right)x^{2}-5i\left(x^{2}-i\sqrt{5}\right)\sqrt{5}$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć -5x^{2}+5i\sqrt{5} przez x^{2}.

$$x^{8}+x^{4}\times 5-5x^{4}+5i\sqrt{5}x^{2}-5i\left(x^{2}-i\sqrt{5}\right)\sqrt{5}$$

Połącz x^{4}\times 5 i -5x^{4}, aby uzyskać 0.

$$x^{8}+5i\sqrt{5}x^{2}-5i\left(x^{2}-i\sqrt{5}\right)\sqrt{5}$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć -5i przez x^{2}-i\sqrt{5}.

$$x^{8}+5i\sqrt{5}x^{2}+\left(-5ix^{2}-5\sqrt{5}\right)\sqrt{5}$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć -5ix^{2}-5\sqrt{5} przez \sqrt{5}.

$$x^{8}+5i\sqrt{5}x^{2}-5ix^{2}\sqrt{5}-5\left(\sqrt{5}\right)^{2}$$

Kwadrat liczby \sqrt{5} to 5.

$$x^{8}+5i\sqrt{5}x^{2}-5ix^{2}\sqrt{5}-5\times 5$$

Pomnóż -5 przez 5, aby uzyskać -25.

$$x^{8}+5i\sqrt{5}x^{2}-5ix^{2}\sqrt{5}-25$$

Połącz 5i\sqrt{5}x^{2} i -5ix^{2}\sqrt{5}, aby uzyskać 0.

$$x^{8}-25$$