Rozwiąż (5x-2)^2-(3x+4)^2=0

$$( 5 x - 2 ) ^ { 2 } - ( 3 x + 4 ) ^ { 2 } = 0$$

Rozwiąż względem x

$$x=-\frac{1}{4}=-0,25$$

$$x=3$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Użyj dwumianu Newtona \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(5x-2\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(3x+4\right)^{2}=0$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(3x+4\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(9x^{2}+24x+16\right)=0$$

Aby znaleźć wartość przeciwną do 9x^{2}+24x+16, znajdź wartość przeciwną każdego czynnika.

$$25x^{2}-20x+4-9x^{2}-24x-16=0$$

Połącz 25x^{2} i -9x^{2}, aby uzyskać 16x^{2}.

$$16x^{2}-20x+4-24x-16=0$$

Połącz -20x i -24x, aby uzyskać -44x.

$$16x^{2}-44x+4-16=0$$

Odejmij 16 od 4, aby uzyskać -12.

$$16x^{2}-44x-12=0$$

Podziel obie strony przez 4.

$$4x^{2}-11x-3=0$$

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: 4x^{2}+ax+bx-3. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-11 ab=4\left(-3\right)=-12$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest ujemne, liczba ujemna ma większą wartość bezwzględną niż dodatnia. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -12.

$$1,-12 2,-6 3,-4$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$1-12=-11 2-6=-4 3-4=-1$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę -11.

$$a=-12 b=1$$

Przepisz 4x^{2}-11x-3 jako \left(4x^{2}-12x\right)+\left(x-3\right).

$$\left(4x^{2}-12x\right)+\left(x-3\right)$$

Wyłącz przed nawias 4x w 4x^{2}-12x.

$$4x\left(x-3\right)+x-3$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik x-3, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(x-3\right)\left(4x+1\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: x-3=0 i 4x+1=0.

$$x=3 x=-\frac{1}{4}$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Użyj dwumianu Newtona \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(5x-2\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(3x+4\right)^{2}=0$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(3x+4\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(9x^{2}+24x+16\right)=0$$

Aby znaleźć wartość przeciwną do 9x^{2}+24x+16, znajdź wartość przeciwną każdego czynnika.

$$25x^{2}-20x+4-9x^{2}-24x-16=0$$

Połącz 25x^{2} i -9x^{2}, aby uzyskać 16x^{2}.

$$16x^{2}-20x+4-24x-16=0$$

Połącz -20x i -24x, aby uzyskać -44x.

$$16x^{2}-44x+4-16=0$$

Odejmij 16 od 4, aby uzyskać -12.

$$16x^{2}-44x-12=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 16 do a, -44 do b i -12 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-44\right)±\sqrt{\left(-44\right)^{2}-4\times 16\left(-12\right)}}{2\times 16}$$

Podnieś do kwadratu -44.

$$x=\frac{-\left(-44\right)±\sqrt{1936-4\times 16\left(-12\right)}}{2\times 16}$$

Pomnóż -4 przez 16.

$$x=\frac{-\left(-44\right)±\sqrt{1936-64\left(-12\right)}}{2\times 16}$$

Pomnóż -64 przez -12.

$$x=\frac{-\left(-44\right)±\sqrt{1936+768}}{2\times 16}$$

Dodaj 1936 do 768.

$$x=\frac{-\left(-44\right)±\sqrt{2704}}{2\times 16}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 2704.

$$x=\frac{-\left(-44\right)±52}{2\times 16}$$

Liczba przeciwna do -44 to 44.

$$x=\frac{44±52}{2\times 16}$$

Pomnóż 2 przez 16.

$$x=\frac{44±52}{32}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{44±52}{32} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj 44 do 52.

$$x=\frac{96}{32}$$

Podziel 96 przez 32.

$$x=3$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{44±52}{32} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 52 od 44.

$$x=-\frac{8}{32}$$

Zredukuj ułamek \frac{-8}{32} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 8.

$$x=-\frac{1}{4}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=3 x=-\frac{1}{4}$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Użyj dwumianu Newtona \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(5x-2\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(3x+4\right)^{2}=0$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(3x+4\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(9x^{2}+24x+16\right)=0$$

Aby znaleźć wartość przeciwną do 9x^{2}+24x+16, znajdź wartość przeciwną każdego czynnika.

$$25x^{2}-20x+4-9x^{2}-24x-16=0$$

Połącz 25x^{2} i -9x^{2}, aby uzyskać 16x^{2}.

$$16x^{2}-20x+4-24x-16=0$$

Połącz -20x i -24x, aby uzyskać -44x.

$$16x^{2}-44x+4-16=0$$

Odejmij 16 od 4, aby uzyskać -12.

$$16x^{2}-44x-12=0$$

Dodaj 12 do obu stron. Wynikiem dodania zera do dowolnej wartości jest ta sama wartość.

$$16x^{2}-44x=12$$

Podziel obie strony przez 16.

$$\frac{16x^{2}-44x}{16}=\frac{12}{16}$$

Dzielenie przez 16 cofa mnożenie przez 16.

$$x^{2}+\left(-\frac{44}{16}\right)x=\frac{12}{16}$$

Zredukuj ułamek \frac{-44}{16} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 4.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=\frac{12}{16}$$

Zredukuj ułamek \frac{12}{16} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 4.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=\frac{3}{4}$$

Podziel -\frac{11}{4}, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać -\frac{11}{8}. Następnie Dodaj kwadrat -\frac{11}{8} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}=\frac{3}{4}+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu -\frac{11}{8}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=\frac{3}{4}+\frac{121}{64}$$

Dodaj \frac{3}{4} do \frac{121}{64}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=\frac{169}{64}$$

Współczynnik x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}=\frac{169}{64}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{64}}$$

Uprość.

$$x-\frac{11}{8}=\frac{13}{8} x-\frac{11}{8}=-\frac{13}{8}$$

Dodaj \frac{11}{8} do obu stron równania.

$$x=3 x=-\frac{1}{4}$$