Rozwiąż (4sqrt{3}+frac{xsqrt{3}}{2})^2+x^2/4=156

$$( 4 \sqrt { 3 } + \frac { x \sqrt { 3 } } { 2 } ) ^ { 2 } + \frac { x ^ { 2 } } { 4 } = 156$$

Rozwiąż względem x

$$x=-18$$

$$x=6$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Pomnóż obie strony równania przez 4.

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}.

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Kwadrat liczby \sqrt{3} to 3.

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Pomnóż 16 przez 3, aby uzyskać 48.

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Skróć największy wspólny dzielnik 2 w 8 i 2.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Aby podnieść wartość \frac{x\sqrt{3}}{2} do potęgi, podnieś licznik i mianownik do potęgi, a następnie wykonaj dzielenie.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Aby dodać lub odjąć wyrażenia, rozwiń je w celu ustawienia takich samych mianowników. Pomnóż 48 przez \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Ponieważ \frac{48\times 2^{2}}{2^{2}} i \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}} mają ten sam mianownik, Dodaj je przez dodanie ich liczników.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć 4 przez \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}.

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Podnieś 2 do potęgi 2, aby uzyskać 4.

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Pomnóż 48 przez 4, aby uzyskać 192.

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Rozwiń \left(x\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Kwadrat liczby \sqrt{3} to 3.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Podnieś 2 do potęgi 2, aby uzyskać 4.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Pokaż wartość 4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4} jako pojedynczy ułamek.

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Skróć wartości 4 i 4.

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Kwadrat liczby \sqrt{3} to 3.

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

Pomnóż 16 przez 3, aby uzyskać 48.

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

Połącz x^{2}\times 3 i x^{2}, aby uzyskać 4x^{2}.

$$192+4x^{2}+48x=624$$

Odejmij 624 od obu stron.

$$192+4x^{2}+48x-624=0$$

Odejmij 624 od 192, aby uzyskać -432.

$$-432+4x^{2}+48x=0$$

Podziel obie strony przez 4.

$$-108+x^{2}+12x=0$$

Zmień postać wielomianu, aby nadać mu postać standardową. Umieść czynniki w kolejności od najwyższej do najniższej potęgi.

$$x^{2}+12x-108=0$$

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: x^{2}+ax+bx-108. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=12 ab=1\left(-108\right)=-108$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest dodatnie, liczba dodatnia ma większą wartość bezwzględną niż ujemna. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -108.

$$-1,108 -2,54 -3,36 -4,27 -6,18 -9,12$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$-1+108=107 -2+54=52 -3+36=33 -4+27=23 -6+18=12 -9+12=3$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę 12.

$$a=-6 b=18$$

Przepisz x^{2}+12x-108 jako \left(x^{2}-6x\right)+\left(18x-108\right).

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(18x-108\right)$$

x w pierwszej i 18 w drugiej grupie.

$$x\left(x-6\right)+18\left(x-6\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik x-6, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(x-6\right)\left(x+18\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: x-6=0 i x+18=0.

$$x=6 x=-18$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Pomnóż obie strony równania przez 4.

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}.

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Kwadrat liczby \sqrt{3} to 3.

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Pomnóż 16 przez 3, aby uzyskać 48.

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Skróć największy wspólny dzielnik 2 w 8 i 2.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Aby podnieść wartość \frac{x\sqrt{3}}{2} do potęgi, podnieś licznik i mianownik do potęgi, a następnie wykonaj dzielenie.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Aby dodać lub odjąć wyrażenia, rozwiń je w celu ustawienia takich samych mianowników. Pomnóż 48 przez \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Ponieważ \frac{48\times 2^{2}}{2^{2}} i \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}} mają ten sam mianownik, Dodaj je przez dodanie ich liczników.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć 4 przez \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}.

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Podnieś 2 do potęgi 2, aby uzyskać 4.

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Pomnóż 48 przez 4, aby uzyskać 192.

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Rozwiń \left(x\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Kwadrat liczby \sqrt{3} to 3.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Podnieś 2 do potęgi 2, aby uzyskać 4.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Pokaż wartość 4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4} jako pojedynczy ułamek.

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Skróć wartości 4 i 4.

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Kwadrat liczby \sqrt{3} to 3.

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

Pomnóż 16 przez 3, aby uzyskać 48.

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

Połącz x^{2}\times 3 i x^{2}, aby uzyskać 4x^{2}.

$$192+4x^{2}+48x=624$$

Odejmij 624 od obu stron.

$$192+4x^{2}+48x-624=0$$

Odejmij 624 od 192, aby uzyskać -432.

$$-432+4x^{2}+48x=0$$

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$4x^{2}+48x-432=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 4 do a, 48 do b i -432 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\times 4\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

Podnieś do kwadratu 48.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-4\times 4\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

Pomnóż -4 przez 4.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-16\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

Pomnóż -16 przez -432.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304+6912}}{2\times 4}$$

Dodaj 2304 do 6912.

$$x=\frac{-48±\sqrt{9216}}{2\times 4}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 9216.

$$x=\frac{-48±96}{2\times 4}$$

Pomnóż 2 przez 4.

$$x=\frac{-48±96}{8}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-48±96}{8} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj -48 do 96.

$$x=\frac{48}{8}$$

Podziel 48 przez 8.

$$x=6$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-48±96}{8} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 96 od -48.

$$x=-\frac{144}{8}$$

Podziel -144 przez 8.

$$x=-18$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=6 x=-18$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Pomnóż obie strony równania przez 4.

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}.

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Kwadrat liczby \sqrt{3} to 3.

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Pomnóż 16 przez 3, aby uzyskać 48.

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Skróć największy wspólny dzielnik 2 w 8 i 2.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Aby podnieść wartość \frac{x\sqrt{3}}{2} do potęgi, podnieś licznik i mianownik do potęgi, a następnie wykonaj dzielenie.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Aby dodać lub odjąć wyrażenia, rozwiń je w celu ustawienia takich samych mianowników. Pomnóż 48 przez \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Ponieważ \frac{48\times 2^{2}}{2^{2}} i \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}} mają ten sam mianownik, Dodaj je przez dodanie ich liczników.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć 4 przez \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}.

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Podnieś 2 do potęgi 2, aby uzyskać 4.

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Pomnóż 48 przez 4, aby uzyskać 192.

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Rozwiń \left(x\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Kwadrat liczby \sqrt{3} to 3.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Podnieś 2 do potęgi 2, aby uzyskać 4.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Pokaż wartość 4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4} jako pojedynczy ułamek.

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Skróć wartości 4 i 4.

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Kwadrat liczby \sqrt{3} to 3.

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

Pomnóż 16 przez 3, aby uzyskać 48.

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

Połącz x^{2}\times 3 i x^{2}, aby uzyskać 4x^{2}.

$$192+4x^{2}+48x=624$$

Odejmij 192 od obu stron.

$$4x^{2}+48x=624-192$$

Odejmij 192 od 624, aby uzyskać 432.

$$4x^{2}+48x=432$$

Podziel obie strony przez 4.

$$\frac{4x^{2}+48x}{4}=\frac{432}{4}$$

Dzielenie przez 4 cofa mnożenie przez 4.

$$x^{2}+\frac{48}{4}x=\frac{432}{4}$$

Podziel 48 przez 4.

$$x^{2}+12x=\frac{432}{4}$$

Podziel 432 przez 4.

$$x^{2}+12x=108$$

Podziel 12, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać 6. Następnie Dodaj kwadrat 6 do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}+12x+6^{2}=108+6^{2}$$

Podnieś do kwadratu 6.

$$x^{2}+12x+36=108+36$$

Dodaj 108 do 36.

$$x^{2}+12x+36=144$$

Współczynnik x^{2}+12x+36. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+6\right)^{2}=144$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{144}$$

Uprość.

$$x+6=12 x+6=-12$$

Odejmij 6 od obu stron równania.

$$x=6 x=-18$$