Rozwiąż (23-x)^2+x^2=17^2

$$( 23 - x ) ^ { 2 } + x ^ { 2 } = 17 ^ { 2 }$$

Rozwiąż względem x

$$x=8$$

$$x=15$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Użyj dwumianu Newtona \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(23-x\right)^{2}.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

Połącz x^{2} i x^{2}, aby uzyskać 2x^{2}.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

Podnieś 17 do potęgi 2, aby uzyskać 289.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

Odejmij 289 od obu stron.

$$529-46x+2x^{2}-289=0$$

Odejmij 289 od 529, aby uzyskać 240.

$$240-46x+2x^{2}=0$$

Podziel obie strony przez 2.

$$120-23x+x^{2}=0$$

Zmień postać wielomianu, aby nadać mu postać standardową. Umieść czynniki w kolejności od najwyższej do najniższej potęgi.

$$x^{2}-23x+120=0$$

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: x^{2}+ax+bx+120. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-23 ab=1\times 120=120$$

Ponieważ ab ma wartość dodatnią, a i b mają ten sam znak. Ponieważ a+b jest wartością ujemną, a i b są ujemne. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn 120.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę -23.

$$a=-15 b=-8$$

Przepisz x^{2}-23x+120 jako \left(x^{2}-15x\right)+\left(-8x+120\right).

$$\left(x^{2}-15x\right)+\left(-8x+120\right)$$

x w pierwszej i -8 w drugiej grupie.

$$x\left(x-15\right)-8\left(x-15\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik x-15, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(x-15\right)\left(x-8\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: x-15=0 i x-8=0.

$$x=15 x=8$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Użyj dwumianu Newtona \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(23-x\right)^{2}.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

Połącz x^{2} i x^{2}, aby uzyskać 2x^{2}.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

Podnieś 17 do potęgi 2, aby uzyskać 289.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

Odejmij 289 od obu stron.

$$529-46x+2x^{2}-289=0$$

Odejmij 289 od 529, aby uzyskać 240.

$$240-46x+2x^{2}=0$$

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$2x^{2}-46x+240=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 2 do a, -46 do b i 240 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{\left(-46\right)^{2}-4\times 2\times 240}}{2\times 2}$$

Podnieś do kwadratu -46.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-4\times 2\times 240}}{2\times 2}$$

Pomnóż -4 przez 2.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-8\times 240}}{2\times 2}$$

Pomnóż -8 przez 240.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-1920}}{2\times 2}$$

Dodaj 2116 do -1920.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{196}}{2\times 2}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 196.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±14}{2\times 2}$$

Liczba przeciwna do -46 to 46.

$$x=\frac{46±14}{2\times 2}$$

Pomnóż 2 przez 2.

$$x=\frac{46±14}{4}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{46±14}{4} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj 46 do 14.

$$x=\frac{60}{4}$$

Podziel 60 przez 4.

$$x=15$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{46±14}{4} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 14 od 46.

$$x=\frac{32}{4}$$

Podziel 32 przez 4.

$$x=8$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=15 x=8$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Użyj dwumianu Newtona \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(23-x\right)^{2}.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

Połącz x^{2} i x^{2}, aby uzyskać 2x^{2}.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

Podnieś 17 do potęgi 2, aby uzyskać 289.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

Odejmij 529 od obu stron.

$$-46x+2x^{2}=289-529$$

Odejmij 529 od 289, aby uzyskać -240.

$$-46x+2x^{2}=-240$$

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-46x=-240$$

Podziel obie strony przez 2.

$$\frac{2x^{2}-46x}{2}=-\frac{240}{2}$$

Dzielenie przez 2 cofa mnożenie przez 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{46}{2}\right)x=-\frac{240}{2}$$

Podziel -46 przez 2.

$$x^{2}-23x=-\frac{240}{2}$$

Podziel -240 przez 2.

$$x^{2}-23x=-120$$

Podziel -23, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać -\frac{23}{2}. Następnie Dodaj kwadrat -\frac{23}{2} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}-23x+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}=-120+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu -\frac{23}{2}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}-23x+\frac{529}{4}=-120+\frac{529}{4}$$

Dodaj -120 do \frac{529}{4}.

$$x^{2}-23x+\frac{529}{4}=\frac{49}{4}$$

Współczynnik x^{2}-23x+\frac{529}{4}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{23}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x-\frac{23}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Uprość.

$$x-\frac{23}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{23}{2}=-\frac{7}{2}$$

Dodaj \frac{23}{2} do obu stron równania.

$$x=15 x=8$$