Rozwiąż (2x-3)^2-(x+5)^2=-23

$$( 2 x - 3 ) ^ { 2 } - ( x + 5 ) ^ { 2 } = - 23$$

Rozwiąż względem x

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

$$x=7$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Użyj dwumianu Newtona \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(x+5\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

Aby znaleźć wartość przeciwną do x^{2}+10x+25, znajdź wartość przeciwną każdego czynnika.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

Połącz 4x^{2} i -x^{2}, aby uzyskać 3x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

Połącz -12x i -10x, aby uzyskać -22x.

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

Odejmij 25 od 9, aby uzyskać -16.

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

Dodaj 23 do obu stron.

$$3x^{2}-22x-16+23=0$$

Dodaj -16 i 23, aby uzyskać 7.

$$3x^{2}-22x+7=0$$

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: 3x^{2}+ax+bx+7. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-22 ab=3\times 7=21$$

Ponieważ ab ma wartość dodatnią, a i b mają ten sam znak. Ponieważ a+b jest wartością ujemną, a i b są ujemne. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn 21.

$$-1,-21 -3,-7$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$-1-21=-22 -3-7=-10$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę -22.

$$a=-21 b=-1$$

Przepisz 3x^{2}-22x+7 jako \left(3x^{2}-21x\right)+\left(-x+7\right).

$$\left(3x^{2}-21x\right)+\left(-x+7\right)$$

3x w pierwszej i -1 w drugiej grupie.

$$3x\left(x-7\right)-\left(x-7\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik x-7, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(x-7\right)\left(3x-1\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: x-7=0 i 3x-1=0.

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Użyj dwumianu Newtona \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(x+5\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

Aby znaleźć wartość przeciwną do x^{2}+10x+25, znajdź wartość przeciwną każdego czynnika.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

Połącz 4x^{2} i -x^{2}, aby uzyskać 3x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

Połącz -12x i -10x, aby uzyskać -22x.

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

Odejmij 25 od 9, aby uzyskać -16.

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

Dodaj 23 do obu stron.

$$3x^{2}-22x-16+23=0$$

Dodaj -16 i 23, aby uzyskać 7.

$$3x^{2}-22x+7=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 3 do a, -22 do b i 7 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{\left(-22\right)^{2}-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

Podnieś do kwadratu -22.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

Pomnóż -4 przez 3.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-12\times 7}}{2\times 3}$$

Pomnóż -12 przez 7.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-84}}{2\times 3}$$

Dodaj 484 do -84.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{400}}{2\times 3}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 400.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±20}{2\times 3}$$

Liczba przeciwna do -22 to 22.

$$x=\frac{22±20}{2\times 3}$$

Pomnóż 2 przez 3.

$$x=\frac{22±20}{6}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{22±20}{6} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj 22 do 20.

$$x=\frac{42}{6}$$

Podziel 42 przez 6.

$$x=7$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{22±20}{6} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 20 od 22.

$$x=\frac{2}{6}$$

Zredukuj ułamek \frac{2}{6} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 2.

$$x=\frac{1}{3}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Użyj dwumianu Newtona \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(x+5\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

Aby znaleźć wartość przeciwną do x^{2}+10x+25, znajdź wartość przeciwną każdego czynnika.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

Połącz 4x^{2} i -x^{2}, aby uzyskać 3x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

Połącz -12x i -10x, aby uzyskać -22x.

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

Odejmij 25 od 9, aby uzyskać -16.

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

Dodaj 16 do obu stron.

$$3x^{2}-22x=-23+16$$

Dodaj -23 i 16, aby uzyskać -7.

$$3x^{2}-22x=-7$$

Podziel obie strony przez 3.

$$\frac{3x^{2}-22x}{3}=-\frac{7}{3}$$

Dzielenie przez 3 cofa mnożenie przez 3.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x=-\frac{7}{3}$$

Podziel -\frac{22}{3}, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać -\frac{11}{3}. Następnie Dodaj kwadrat -\frac{11}{3} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\left(-\frac{11}{3}\right)^{2}=-\frac{7}{3}+\left(-\frac{11}{3}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu -\frac{11}{3}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}=-\frac{7}{3}+\frac{121}{9}$$

Dodaj -\frac{7}{3} do \frac{121}{9}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}=\frac{100}{9}$$

Współczynnik x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{3}\right)^{2}=\frac{100}{9}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{100}{9}}$$

Uprość.

$$x-\frac{11}{3}=\frac{10}{3} x-\frac{11}{3}=-\frac{10}{3}$$

Dodaj \frac{11}{3} do obu stron równania.

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$