Rozwiąż (2x+4)^2-5x(7-3x)(7+3x)-(3x-2)^2-40x^2=-205

$$( 2 x + 4 ) ^ { 2 } - 5 x ( 7 - 3 x ) ( 7 + 3 x ) - ( 3 x - 2 ) ^ { 2 } - 40 x ^ { 2 } = - 205$$

Rozwiąż względem x

$$x = \frac{\sqrt{1085}}{15} \approx 2,195955879$$

$$x = -\frac{\sqrt{1085}}{15} \approx -2,195955879$$

$$x=1$$

Kroki rozwiązania

Użyj dwumianu Newtona \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(2x+4\right)^{2}.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-\left(3x-2\right)^{2}-40x^{2}=-205$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(3x-2\right)^{2}.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-\left(9x^{2}-12x+4\right)-40x^{2}=-205$$

Aby znaleźć wartość przeciwną do 9x^{2}-12x+4, znajdź wartość przeciwną każdego czynnika.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-9x^{2}+12x-4-40x^{2}=-205$$

Połącz -9x^{2} i -40x^{2}, aby uzyskać -49x^{2}.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x-4=-205$$

Dodaj 205 do obu stron.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x-4+205=0$$

Dodaj -4 i 205, aby uzyskać 201.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x+201=0$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć -5x przez 7-3x.

$$4x^{2}+16x+16+\left(-35x+15x^{2}\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x+201=0$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć -35x+15x^{2} przez 7+3x i połączyć podobne czynniki.

$$4x^{2}+16x+16-245x+45x^{3}-49x^{2}+12x+201=0$$

Połącz 16x i -245x, aby uzyskać -229x.

$$4x^{2}-229x+16+45x^{3}-49x^{2}+12x+201=0$$

Połącz 4x^{2} i -49x^{2}, aby uzyskać -45x^{2}.

$$-45x^{2}-229x+16+45x^{3}+12x+201=0$$

Połącz -229x i 12x, aby uzyskać -217x.

$$-45x^{2}-217x+16+45x^{3}+201=0$$

Dodaj 16 i 201, aby uzyskać 217.

$$-45x^{2}-217x+217+45x^{3}=0$$

Zmień postać równania, aby nadać mu postać standardową. Umieść czynniki w kolejności od najwyższej do najniższej potęgi.

$$45x^{3}-45x^{2}-217x+217=0$$

Według twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wszystkie wymierne pierwiastki wielomianu można przedstawić w postaci \frac{p}{q}, gdzie p jest dzielnikiem czynnika stałego 217, a q jest dzielnikiem współczynnika wiodącego 45. Wyświetl listę wszystkich kandydatów \frac{p}{q}.

$$±\frac{217}{45},±\frac{217}{15},±\frac{217}{9},±\frac{217}{5},±\frac{217}{3},±217,±\frac{31}{45},±\frac{31}{15},±\frac{31}{9},±\frac{31}{5},±\frac{31}{3},±31,±\frac{7}{45},±\frac{7}{15},±\frac{7}{9},±\frac{7}{5},±\frac{7}{3},±7,±\frac{1}{45},±\frac{1}{15},±\frac{1}{9},±\frac{1}{5},±\frac{1}{3},±1$$

Znajdź jeden taki pierwiastek przez wypróbowanie wszystkich wartości całkowitych, zaczynając od najmniejszej wartości bezwzględnej. Jeśli nie zostaną znalezione żadne pierwiastki, wypróbuj ułamki.

$$x=1$$

Według twierdzenia o rozkładzie wielomianu na czynniki x-k jest współczynnikiem wielomianu dla każdego pierwiastka k. Podziel 45x^{3}-45x^{2}-217x+217 przez x-1, aby uzyskać 45x^{2}-217. Umożliwia rozwiązanie równania, którego wynik jest równy 0.

$$45x^{2}-217=0$$

Wszystkie równania formularza ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Podstaw 45 do a, 0 do b i -217 do c w formule kwadratowej.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 45\left(-217\right)}}{2\times 45}$$

Wykonaj obliczenia.

$$x=\frac{0±6\sqrt{1085}}{90}$$

Umożliwia rozwiązanie równania 45x^{2}-217=0, gdy ± jest Plus i gdy ± jest pomniejszona.

$$x=-\frac{\sqrt{1085}}{15} x=\frac{\sqrt{1085}}{15}$$

Wyświetl listę wszystkich znalezionych rozwiązań.

$$x=1 x=-\frac{\sqrt{1085}}{15} x=\frac{\sqrt{1085}}{15}$$