Rozwiąż (2x+3)(x^2-16)+(x-4)(x+40)=2(x-4)(x^2-16)

$$( 2 x + 3 ) ( x ^ { 2 } - 16 ) + ( x - 4 ) ( x + 40 ) = 2 ( x - 4 ) ( x ^ { 2 } - 16 )$$

Rozwiąż względem x

$$x=-7$$

$$x=4$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć 2x+3 przez x^{2}-16.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć x-4 przez x+40 i połączyć podobne czynniki.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Połącz 3x^{2} i x^{2}, aby uzyskać 4x^{2}.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Połącz -32x i 36x, aby uzyskać 4x.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Odejmij 160 od -48, aby uzyskać -208.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć 2 przez x-4.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć 2x-8 przez x^{2}-16.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

Odejmij 2x^{3} od obu stron.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

Połącz 2x^{3} i -2x^{3}, aby uzyskać 0.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

Dodaj 32x do obu stron.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

Połącz 4x i 32x, aby uzyskać 36x.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

Dodaj 8x^{2} do obu stron.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

Połącz 4x^{2} i 8x^{2}, aby uzyskać 12x^{2}.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

Odejmij 128 od obu stron.

$$36x+12x^{2}-208-128=0$$

Odejmij 128 od -208, aby uzyskać -336.

$$36x+12x^{2}-336=0$$

Podziel obie strony przez 12.

$$3x+x^{2}-28=0$$

Zmień postać wielomianu, aby nadać mu postać standardową. Umieść czynniki w kolejności od najwyższej do najniższej potęgi.

$$x^{2}+3x-28=0$$

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: x^{2}+ax+bx-28. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=3 ab=1\left(-28\right)=-28$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest dodatnie, liczba dodatnia ma większą wartość bezwzględną niż ujemna. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -28.

$$-1,28 -2,14 -4,7$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$-1+28=27 -2+14=12 -4+7=3$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę 3.

$$a=-4 b=7$$

Przepisz x^{2}+3x-28 jako \left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right).

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right)$$

x w pierwszej i 7 w drugiej grupie.

$$x\left(x-4\right)+7\left(x-4\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik x-4, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(x-4\right)\left(x+7\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: x-4=0 i x+7=0.

$$x=4 x=-7$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć 2x+3 przez x^{2}-16.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć x-4 przez x+40 i połączyć podobne czynniki.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Połącz 3x^{2} i x^{2}, aby uzyskać 4x^{2}.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Połącz -32x i 36x, aby uzyskać 4x.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Odejmij 160 od -48, aby uzyskać -208.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć 2 przez x-4.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć 2x-8 przez x^{2}-16.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

Odejmij 2x^{3} od obu stron.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

Połącz 2x^{3} i -2x^{3}, aby uzyskać 0.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

Dodaj 32x do obu stron.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

Połącz 4x i 32x, aby uzyskać 36x.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

Dodaj 8x^{2} do obu stron.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

Połącz 4x^{2} i 8x^{2}, aby uzyskać 12x^{2}.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

Odejmij 128 od obu stron.

$$36x+12x^{2}-208-128=0$$

Odejmij 128 od -208, aby uzyskać -336.

$$36x+12x^{2}-336=0$$

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$12x^{2}+36x-336=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 12 do a, 36 do b i -336 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\times 12\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

Podnieś do kwadratu 36.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-4\times 12\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

Pomnóż -4 przez 12.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-48\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

Pomnóż -48 przez -336.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296+16128}}{2\times 12}$$

Dodaj 1296 do 16128.

$$x=\frac{-36±\sqrt{17424}}{2\times 12}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 17424.

$$x=\frac{-36±132}{2\times 12}$$

Pomnóż 2 przez 12.

$$x=\frac{-36±132}{24}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-36±132}{24} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj -36 do 132.

$$x=\frac{96}{24}$$

Podziel 96 przez 24.

$$x=4$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-36±132}{24} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 132 od -36.

$$x=-\frac{168}{24}$$

Podziel -168 przez 24.

$$x=-7$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=4 x=-7$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć 2x+3 przez x^{2}-16.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć x-4 przez x+40 i połączyć podobne czynniki.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Połącz 3x^{2} i x^{2}, aby uzyskać 4x^{2}.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Połącz -32x i 36x, aby uzyskać 4x.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Odejmij 160 od -48, aby uzyskać -208.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć 2 przez x-4.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć 2x-8 przez x^{2}-16.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

Odejmij 2x^{3} od obu stron.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

Połącz 2x^{3} i -2x^{3}, aby uzyskać 0.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

Dodaj 32x do obu stron.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

Połącz 4x i 32x, aby uzyskać 36x.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

Dodaj 8x^{2} do obu stron.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

Połącz 4x^{2} i 8x^{2}, aby uzyskać 12x^{2}.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

Dodaj 208 do obu stron.

$$36x+12x^{2}=128+208$$

Dodaj 128 i 208, aby uzyskać 336.

$$36x+12x^{2}=336$$

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+36x=336$$

Podziel obie strony przez 12.

$$\frac{12x^{2}+36x}{12}=\frac{336}{12}$$

Dzielenie przez 12 cofa mnożenie przez 12.

$$x^{2}+\frac{36}{12}x=\frac{336}{12}$$

Podziel 36 przez 12.

$$x^{2}+3x=\frac{336}{12}$$

Podziel 336 przez 12.

$$x^{2}+3x=28$$

Podziel 3, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać \frac{3}{2}. Następnie Dodaj kwadrat \frac{3}{2} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=28+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu \frac{3}{2}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=28+\frac{9}{4}$$

Dodaj 28 do \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{121}{4}$$

Współczynnik x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Uprość.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{11}{2}$$

Odejmij \frac{3}{2} od obu stron równania.

$$x=4 x=-7$$