Rozwiąż (1+sqrt{2}+sqrt{3})(2+sqrt{2}-sqrt{6})-(sqrt{3}-1)^2

$$( 1 + \sqrt { 2 } + \sqrt { 3 } ) ( 2 + \sqrt { 2 } - \sqrt { 6 } ) - ( \sqrt { 3 } - 1 ) ^ { 2 }$$

Oblicz

$$2\sqrt{3}\approx 3,464101615$$

Kroki rozwiązania

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć 1+\sqrt{2}+\sqrt{3} przez 2+\sqrt{2}-\sqrt{6} i połączyć podobne czynniki.

$$2+3\sqrt{2}-\sqrt{6}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}-\sqrt{2}\sqrt{6}+2\sqrt{3}+\sqrt{3}\sqrt{2}-\sqrt{3}\sqrt{6}-\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}$$

Kwadrat liczby \sqrt{2} to 2.

$$2+3\sqrt{2}-\sqrt{6}+2-\sqrt{2}\sqrt{6}+2\sqrt{3}+\sqrt{3}\sqrt{2}-\sqrt{3}\sqrt{6}-\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}$$

Dodaj 2 i 2, aby uzyskać 4.

$$4+3\sqrt{2}-\sqrt{6}-\sqrt{2}\sqrt{6}+2\sqrt{3}+\sqrt{3}\sqrt{2}-\sqrt{3}\sqrt{6}-\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}$$

Rozłóż 6=2\times 3 na czynniki. Ponownie wpisz pierwiastek kwadratowy produktu \sqrt{2\times 3} jako iloczyn kwadratowych korzeni \sqrt{2}\sqrt{3}.

$$4+3\sqrt{2}-\sqrt{6}-\sqrt{2}\sqrt{2}\sqrt{3}+2\sqrt{3}+\sqrt{3}\sqrt{2}-\sqrt{3}\sqrt{6}-\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}$$

Pomnóż \sqrt{2} przez \sqrt{2}, aby uzyskać 2.

$$4+3\sqrt{2}-\sqrt{6}-2\sqrt{3}+2\sqrt{3}+\sqrt{3}\sqrt{2}-\sqrt{3}\sqrt{6}-\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}$$

Połącz -2\sqrt{3} i 2\sqrt{3}, aby uzyskać 0.

$$4+3\sqrt{2}-\sqrt{6}+\sqrt{3}\sqrt{2}-\sqrt{3}\sqrt{6}-\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}$$

Aby pomnożyć \sqrt{3} i \sqrt{2}, pomnóż liczby w polu pierwiastek kwadratowy.

$$4+3\sqrt{2}-\sqrt{6}+\sqrt{6}-\sqrt{3}\sqrt{6}-\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}$$

Połącz -\sqrt{6} i \sqrt{6}, aby uzyskać 0.

$$4+3\sqrt{2}-\sqrt{3}\sqrt{6}-\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}$$

Rozłóż 6=3\times 2 na czynniki. Ponownie wpisz pierwiastek kwadratowy produktu \sqrt{3\times 2} jako iloczyn kwadratowych korzeni \sqrt{3}\sqrt{2}.

$$4+3\sqrt{2}-\sqrt{3}\sqrt{3}\sqrt{2}-\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}$$

Pomnóż \sqrt{3} przez \sqrt{3}, aby uzyskać 3.

$$4+3\sqrt{2}-3\sqrt{2}-\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}$$

Połącz 3\sqrt{2} i -3\sqrt{2}, aby uzyskać 0.

$$4-\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(\sqrt{3}-1\right)^{2}.

$$4-\left(\left(\sqrt{3}\right)^{2}-2\sqrt{3}+1\right)$$

Kwadrat liczby \sqrt{3} to 3.

$$4-\left(3-2\sqrt{3}+1\right)$$

Dodaj 3 i 1, aby uzyskać 4.

$$4-\left(4-2\sqrt{3}\right)$$

Aby znaleźć wartość przeciwną do 4-2\sqrt{3}, znajdź wartość przeciwną każdego czynnika.

$$4-4+2\sqrt{3}$$

Odejmij 4 od 4, aby uzyskać 0.

$$2\sqrt{3}$$