Rozwiąż (-x+7)(sqrt{x^2+2x+5})=(x+1)(sqrt{x^2-14x+65})

$$( - x + 7 ) ( \sqrt { x ^ { 2 } + 2 x + 5 } ) = ( x + 1 ) ( \sqrt { x ^ { 2 } - 14 x + 65 } )$$

Rozwiąż względem x

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1,666666667$$

Kroki rozwiązania

Podnieś do kwadratu obie strony równania.

$$\left(\left(-x+7\right)\sqrt{x^{2}+2x+5}\right)^{2}=\left(\left(x+1\right)\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć -x+7 przez \sqrt{x^{2}+2x+5}.

$$\left(\left(-x\right)\sqrt{x^{2}+2x+5}+7\sqrt{x^{2}+2x+5}\right)^{2}=\left(\left(x+1\right)\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(\left(-x\right)\sqrt{x^{2}+2x+5}+7\sqrt{x^{2}+2x+5}\right)^{2}.

$$\left(-x\right)^{2}\left(\sqrt{x^{2}+2x+5}\right)^{2}+14\left(-x\right)\sqrt{x^{2}+2x+5}\sqrt{x^{2}+2x+5}+49\left(\sqrt{x^{2}+2x+5}\right)^{2}=\left(\left(x+1\right)\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

Pomnóż \sqrt{x^{2}+2x+5} przez \sqrt{x^{2}+2x+5}, aby uzyskać \left(\sqrt{x^{2}+2x+5}\right)^{2}.

$$\left(-x\right)^{2}\left(\sqrt{x^{2}+2x+5}\right)^{2}+14\left(-x\right)\left(\sqrt{x^{2}+2x+5}\right)^{2}+49\left(\sqrt{x^{2}+2x+5}\right)^{2}=\left(\left(x+1\right)\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

Podnieś -x do potęgi 2, aby uzyskać x^{2}.

$$x^{2}\left(\sqrt{x^{2}+2x+5}\right)^{2}+14\left(-x\right)\left(\sqrt{x^{2}+2x+5}\right)^{2}+49\left(\sqrt{x^{2}+2x+5}\right)^{2}=\left(\left(x+1\right)\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

Podnieś \sqrt{x^{2}+2x+5} do potęgi 2, aby uzyskać x^{2}+2x+5.

$$x^{2}\left(x^{2}+2x+5\right)+14\left(-x\right)\left(\sqrt{x^{2}+2x+5}\right)^{2}+49\left(\sqrt{x^{2}+2x+5}\right)^{2}=\left(\left(x+1\right)\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć x^{2} przez x^{2}+2x+5.

$$x^{4}+2x^{3}+5x^{2}+14\left(-x\right)\left(\sqrt{x^{2}+2x+5}\right)^{2}+49\left(\sqrt{x^{2}+2x+5}\right)^{2}=\left(\left(x+1\right)\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

Podnieś \sqrt{x^{2}+2x+5} do potęgi 2, aby uzyskać x^{2}+2x+5.

$$x^{4}+2x^{3}+5x^{2}+14\left(-x\right)\left(x^{2}+2x+5\right)+49\left(\sqrt{x^{2}+2x+5}\right)^{2}=\left(\left(x+1\right)\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć 14\left(-x\right) przez x^{2}+2x+5.

$$x^{4}+2x^{3}+5x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+49\left(\sqrt{x^{2}+2x+5}\right)^{2}=\left(\left(x+1\right)\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

Podnieś \sqrt{x^{2}+2x+5} do potęgi 2, aby uzyskać x^{2}+2x+5.

$$x^{4}+2x^{3}+5x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+49\left(x^{2}+2x+5\right)=\left(\left(x+1\right)\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć 49 przez x^{2}+2x+5.

$$x^{4}+2x^{3}+5x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+49x^{2}+98x+245=\left(\left(x+1\right)\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

Połącz 5x^{2} i 49x^{2}, aby uzyskać 54x^{2}.

$$x^{4}+2x^{3}+54x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+98x+245=\left(\left(x+1\right)\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć x+1 przez \sqrt{x^{2}-14x+65}.

$$x^{4}+2x^{3}+54x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+98x+245=\left(x\sqrt{x^{2}-14x+65}+\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(x\sqrt{x^{2}-14x+65}+\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}.

$$x^{4}+2x^{3}+54x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+98x+245=x^{2}\left(\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}+2x\sqrt{x^{2}-14x+65}\sqrt{x^{2}-14x+65}+\left(\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

Pomnóż \sqrt{x^{2}-14x+65} przez \sqrt{x^{2}-14x+65}, aby uzyskać \left(\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}.

$$x^{4}+2x^{3}+54x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+98x+245=x^{2}\left(\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}+2x\left(\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}+\left(\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

Podnieś \sqrt{x^{2}-14x+65} do potęgi 2, aby uzyskać x^{2}-14x+65.

$$x^{4}+2x^{3}+54x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+98x+245=x^{2}\left(x^{2}-14x+65\right)+2x\left(\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}+\left(\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć x^{2} przez x^{2}-14x+65.

$$x^{4}+2x^{3}+54x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+98x+245=x^{4}-14x^{3}+65x^{2}+2x\left(\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}+\left(\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

Podnieś \sqrt{x^{2}-14x+65} do potęgi 2, aby uzyskać x^{2}-14x+65.

$$x^{4}+2x^{3}+54x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+98x+245=x^{4}-14x^{3}+65x^{2}+2x\left(x^{2}-14x+65\right)+\left(\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć 2x przez x^{2}-14x+65.

$$x^{4}+2x^{3}+54x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+98x+245=x^{4}-14x^{3}+65x^{2}+2x^{3}-28x^{2}+130x+\left(\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

Połącz -14x^{3} i 2x^{3}, aby uzyskać -12x^{3}.

$$x^{4}+2x^{3}+54x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+98x+245=x^{4}-12x^{3}+65x^{2}-28x^{2}+130x+\left(\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

Połącz 65x^{2} i -28x^{2}, aby uzyskać 37x^{2}.

$$x^{4}+2x^{3}+54x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+98x+245=x^{4}-12x^{3}+37x^{2}+130x+\left(\sqrt{x^{2}-14x+65}\right)^{2}$$

Podnieś \sqrt{x^{2}-14x+65} do potęgi 2, aby uzyskać x^{2}-14x+65.

$$x^{4}+2x^{3}+54x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+98x+245=x^{4}-12x^{3}+37x^{2}+130x+x^{2}-14x+65$$

Połącz 37x^{2} i x^{2}, aby uzyskać 38x^{2}.

$$x^{4}+2x^{3}+54x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+98x+245=x^{4}-12x^{3}+38x^{2}+130x-14x+65$$

Połącz 130x i -14x, aby uzyskać 116x.

$$x^{4}+2x^{3}+54x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+98x+245=x^{4}-12x^{3}+38x^{2}+116x+65$$

Odejmij x^{4} od obu stron.

$$x^{4}+2x^{3}+54x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+98x+245-x^{4}=-12x^{3}+38x^{2}+116x+65$$

Połącz x^{4} i -x^{4}, aby uzyskać 0.

$$2x^{3}+54x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+98x+245=-12x^{3}+38x^{2}+116x+65$$

Dodaj 12x^{3} do obu stron.

$$2x^{3}+54x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+98x+245+12x^{3}=38x^{2}+116x+65$$

Połącz 2x^{3} i 12x^{3}, aby uzyskać 14x^{3}.

$$14x^{3}+54x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+98x+245=38x^{2}+116x+65$$

Odejmij 38x^{2} od obu stron.

$$14x^{3}+54x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+98x+245-38x^{2}=116x+65$$

Połącz 54x^{2} i -38x^{2}, aby uzyskać 16x^{2}.

$$14x^{3}+16x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+98x+245=116x+65$$

Odejmij 116x od obu stron.

$$14x^{3}+16x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)+98x+245-116x=65$$

Połącz 98x i -116x, aby uzyskać -18x.

$$14x^{3}+16x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)-18x+245=65$$

Odejmij 65 od obu stron.

$$14x^{3}+16x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)-18x+245-65=0$$

Odejmij 65 od 245, aby uzyskać 180.

$$14x^{3}+16x^{2}+14\left(-x\right)x^{2}+28\left(-x\right)x+70\left(-x\right)-18x+180=0$$

Aby pomnożyć potęgi o jednakowej podstawie, dodaj ich wykładniki. Dodaj 1 i 2, aby uzyskać 3.

$$14x^{3}+16x^{2}+14\left(-1\right)x^{3}+28\left(-1\right)xx+70\left(-1\right)x-18x+180=0$$

Pomnóż 14 przez -1, aby uzyskać -14.

$$14x^{3}+16x^{2}-14x^{3}+28\left(-1\right)xx+70\left(-1\right)x-18x+180=0$$

Połącz 14x^{3} i -14x^{3}, aby uzyskać 0.

$$16x^{2}+28\left(-1\right)xx+70\left(-1\right)x-18x+180=0$$

Pomnóż x przez x, aby uzyskać x^{2}.

$$16x^{2}+28\left(-1\right)x^{2}+70\left(-1\right)x-18x+180=0$$

Pomnóż 28 przez -1, aby uzyskać -28.

$$16x^{2}-28x^{2}+70\left(-1\right)x-18x+180=0$$

Połącz 16x^{2} i -28x^{2}, aby uzyskać -12x^{2}.

$$-12x^{2}+70\left(-1\right)x-18x+180=0$$

Pomnóż 70 przez -1, aby uzyskać -70.

$$-12x^{2}-70x-18x+180=0$$

Połącz -70x i -18x, aby uzyskać -88x.

$$-12x^{2}-88x+180=0$$

Podziel obie strony przez 4.

$$-3x^{2}-22x+45=0$$

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: -3x^{2}+ax+bx+45. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-22 ab=-3\times 45=-135$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest ujemne, liczba ujemna ma większą wartość bezwzględną niż dodatnia. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -135.

$$1,-135 3,-45 5,-27 9,-15$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$1-135=-134 3-45=-42 5-27=-22 9-15=-6$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę -22.

$$a=5 b=-27$$

Przepisz -3x^{2}-22x+45 jako \left(-3x^{2}+5x\right)+\left(-27x+45\right).

$$\left(-3x^{2}+5x\right)+\left(-27x+45\right)$$

-x w pierwszej i -9 w drugiej grupie.

$$-x\left(3x-5\right)-9\left(3x-5\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik 3x-5, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(3x-5\right)\left(-x-9\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: 3x-5=0 i -x-9=0.

$$x=\frac{5}{3} x=-9$$

Podstaw \frac{5}{3} do x w równaniu: \left(-x+7\right)\sqrt{x^{2}+2x+5}=\left(x+1\right)\sqrt{x^{2}-14x+65}.

$$\left(-\frac{5}{3}+7\right)\sqrt{\left(\frac{5}{3}\right)^{2}+2\times \frac{5}{3}+5}=\left(\frac{5}{3}+1\right)\sqrt{\left(\frac{5}{3}\right)^{2}-14\times \frac{5}{3}+65}$$

Uprość. Wartość x=\frac{5}{3} spełnia równanie.

$$\frac{160}{9}=\frac{160}{9}$$

Podstaw -9 do x w równaniu: \left(-x+7\right)\sqrt{x^{2}+2x+5}=\left(x+1\right)\sqrt{x^{2}-14x+65}.

$$\left(-\left(-9\right)+7\right)\sqrt{\left(-9\right)^{2}+2\left(-9\right)+5}=\left(-9+1\right)\sqrt{\left(-9\right)^{2}-14\left(-9\right)+65}$$

Uprość. Wartość x=-9 nie spełnia równania, ponieważ lewa i prawa strona mają przeciwne znaki.

$$32\times 17^{\frac{1}{2}}=-32\times 17^{\frac{1}{2}}$$

Równanie \left(7-x\right)\sqrt{x^{2}+2x+5}=\left(x+1\right)\sqrt{x^{2}-14x+65} ma unikatowe rozwiązanie.

$$x=\frac{5}{3}$$