Rozwiąż (sqrt{5}-sqrt{3})(sqrt{5}+sqrt{3})-(sqrt{6}+sqrt{2})^2

$$( \sqrt { 5 } - \sqrt { 3 } ) ( \sqrt { 5 } + \sqrt { 3 } ) - ( \sqrt { 6 } + \sqrt { 2 } ) ^ { 2 }$$

Oblicz

$$-4\sqrt{3}-6\approx -12,92820323$$

Kroki rozwiązania

Rozważ \left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right). Mnożenie można przekształcić w różnicę kwadratów, stosując regułę: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^{2}$$

Kwadrat liczby \sqrt{5} to 5.

$$5-\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^{2}$$

Kwadrat liczby \sqrt{3} to 3.

$$5-3-\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^{2}$$

Odejmij 3 od 5, aby uzyskać 2.

$$2-\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^{2}$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^{2}.

$$2-\left(\left(\sqrt{6}\right)^{2}+2\sqrt{6}\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)$$

Kwadrat liczby \sqrt{6} to 6.

$$2-\left(6+2\sqrt{6}\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)$$

Rozłóż 6=2\times 3 na czynniki. Ponownie wpisz pierwiastek kwadratowy produktu \sqrt{2\times 3} jako iloczyn kwadratowych korzeni \sqrt{2}\sqrt{3}.

$$2-\left(6+2\sqrt{2}\sqrt{3}\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)$$

Pomnóż \sqrt{2} przez \sqrt{2}, aby uzyskać 2.

$$2-\left(6+2\times 2\sqrt{3}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)$$

Pomnóż 2 przez 2, aby uzyskać 4.

$$2-\left(6+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)$$

Kwadrat liczby \sqrt{2} to 2.

$$2-\left(6+4\sqrt{3}+2\right)$$

Dodaj 6 i 2, aby uzyskać 8.

$$2-\left(8+4\sqrt{3}\right)$$

Aby znaleźć wartość przeciwną do 8+4\sqrt{3}, znajdź wartość przeciwną każdego czynnika.

$$2-8-4\sqrt{3}$$

Odejmij 8 od 2, aby uzyskać -6.

$$-6-4\sqrt{3}$$