Rozwiąż (sqrt{5}-sqrt{2})^2-(2sqrt{3}+sqrt{5})(2sqrt{3}-sqrt{5})

$$( \sqrt { 5 } - \sqrt { 2 } ) ^ { 2 } - ( 2 \sqrt { 3 } + \sqrt { 5 } ) ( 2 \sqrt { 3 } - \sqrt { 5 } )$$

Oblicz

$$-2\sqrt{10}\approx -6,32455532$$

Kroki rozwiązania

Użyj dwumianu Newtona \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{5}\right)^{2}-2\sqrt{5}\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}-\left(2\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{3}-\sqrt{5}\right)$$

Kwadrat liczby \sqrt{5} to 5.

$$5-2\sqrt{5}\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}-\left(2\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{3}-\sqrt{5}\right)$$

Aby pomnożyć \sqrt{5} i \sqrt{2}, pomnóż liczby w polu pierwiastek kwadratowy.

$$5-2\sqrt{10}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}-\left(2\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{3}-\sqrt{5}\right)$$

Kwadrat liczby \sqrt{2} to 2.

$$5-2\sqrt{10}+2-\left(2\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{3}-\sqrt{5}\right)$$

Dodaj 5 i 2, aby uzyskać 7.

$$7-2\sqrt{10}-\left(2\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{3}-\sqrt{5}\right)$$

Rozważ \left(2\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)\left(2\sqrt{3}-\sqrt{5}\right). Mnożenie można przekształcić w różnicę kwadratów, stosując regułę: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$7-2\sqrt{10}-\left(\left(2\sqrt{3}\right)^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}\right)$$

Rozwiń \left(2\sqrt{3}\right)^{2}.

$$7-2\sqrt{10}-\left(2^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}\right)$$

Podnieś 2 do potęgi 2, aby uzyskać 4.

$$7-2\sqrt{10}-\left(4\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}\right)$$

Kwadrat liczby \sqrt{3} to 3.

$$7-2\sqrt{10}-\left(4\times 3-\left(\sqrt{5}\right)^{2}\right)$$

Pomnóż 4 przez 3, aby uzyskać 12.

$$7-2\sqrt{10}-\left(12-\left(\sqrt{5}\right)^{2}\right)$$

Kwadrat liczby \sqrt{5} to 5.

$$7-2\sqrt{10}-\left(12-5\right)$$

Odejmij 5 od 12, aby uzyskać 7.

$$7-2\sqrt{10}-7$$

Odejmij 7 od 7, aby uzyskać 0.

$$-2\sqrt{10}$$