Rozwiąż x^2-x-1>0

$${ x }^{ 2 } -x-1 > 0$$

Rozwiąż względem x

$$x\in \left(-\infty,\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{5}+1}{2},\infty\right)$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Aby rozwiązać nierówność, rozłóż lewą stronę na czynniki. Wielomian kwadratowy można rozkładać na czynniki przy użyciu przekształcenia ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), gdzie x_{1} i x_{2} to rozwiązania równania kwadratowego ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-x-1=0$$

Wszystkie równania formularza ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Podstaw 1 do a, -1 do b i -1 do c w formule kwadratowej.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\left(-1\right)}}{2}$$

Wykonaj obliczenia.

$$x=\frac{1±\sqrt{5}}{2}$$

Umożliwia rozwiązanie równania x=\frac{1±\sqrt{5}}{2}, gdy ± jest Plus i gdy ± jest pomniejszona.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Przepisz nierówność za pomocą uzyskanych rozwiązań.

$$\left(x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)\left(x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)>0$$

Jeśli iloczyn ma być dodatni, oba czynniki (x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} i x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}) muszą być ujemne lub oba muszą być dodatnie. Rozważ przypadek, w którym wartości x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} i x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} są ujemne.

$$x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}<0 x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}<0$$

Rozwiązanie spełniające obie nierówności to x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}.

$$x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Rozważ przypadek, w którym wartości x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} i x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} są dodatnie.

$$x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}>0$$

Rozwiązanie spełniające obie nierówności to x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}.

$$x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Rozwiązaniem końcowym jest suma uzyskanych rozwiązań.

$$x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}\text{; }x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$