Rozwiąż x^2-x-1=0

$${ x }^{ 2 } -x-1 = 0$$

Rozwiąż względem x

$$x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1,618033989$$

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0,618033989$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$x^{2}-x-1=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 1 do a, -1 do b i -1 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-1\right)}}{2}$$

Pomnóż -4 przez -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+4}}{2}$$

Dodaj 1 do 4.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{5}}{2}$$

Liczba przeciwna do -1 to 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{5}}{2}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{1±\sqrt{5}}{2} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj 1 do \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{1±\sqrt{5}}{2} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij \sqrt{5} od 1.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-x-1=0$$

Dodaj 1 do obu stron równania.

$$x^{2}-x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Odjęcie -1 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$x^{2}-x=-\left(-1\right)$$

Odejmij -1 od 0.

$$x^{2}-x=1$$

Podziel -1, współczynnik x, przez 2, aby otrzymać -\frac{1}{2}. Następnie dodaj kwadrat liczby -\frac{1}{2} do obu stron równania. Ten krok sprawi, że lewa strona tego równania stanie się liczbą kwadratową.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=1+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu -\frac{1}{2}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=1+\frac{1}{4}$$

Dodaj 1 do \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$$

Rozłóż na czynniki wyrażenie x^{2}-x+\frac{1}{4}. Ogólnie, gdy wyrażenie x^{2}+bx+c jest liczbą kwadratową, zawsze można je rozłożyć na czynniki jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{4}}$$

Uprość.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$$

Dodaj \frac{1}{2} do obu stron równania.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$