Rozwiąż x^2-6x+11=0

$${ x }^{ 2 } -6x+11 = 0$$

Rozwiąż względem x (complex solution)

$$x=3+\sqrt{2}i\approx 3+1.414213562i$$

$$x=-\sqrt{2}i+3\approx 3-1.414213562i$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$x^{2}-6x+11=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 1 do a, -6 do b i 11 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 11}}{2}$$

Podnieś do kwadratu -6.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 11}}{2}$$

Pomnóż -4 przez 11.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-44}}{2}$$

Dodaj 36 do -44.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{-8}}{2}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości -8.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±2\sqrt{2}i}{2}$$

Liczba przeciwna do -6 to 6.

$$x=\frac{6±2\sqrt{2}i}{2}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{6±2\sqrt{2}i}{2} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj 6 do 2i\sqrt{2}.

$$x=\frac{6+2\sqrt{2}i}{2}$$

Podziel 6+2i\sqrt{2} przez 2.

$$x=3+\sqrt{2}i$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{6±2\sqrt{2}i}{2} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 2i\sqrt{2} od 6.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i+6}{2}$$

Podziel 6-2i\sqrt{2} przez 2.

$$x=-\sqrt{2}i+3$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=3+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i+3$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-6x+11=0$$

Odejmij 11 od obu stron równania.

$$x^{2}-6x+11-11=-11$$

Odjęcie 11 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$x^{2}-6x=-11$$

Podziel -6, współczynnik x, przez 2, aby otrzymać -3. Następnie dodaj kwadrat liczby -3 do obu stron równania. Ten krok sprawi, że lewa strona tego równania stanie się liczbą kwadratową.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=-11+\left(-3\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu -3.

$$x^{2}-6x+9=-11+9$$

Dodaj -11 do 9.

$$x^{2}-6x+9=-2$$

Rozłóż na czynniki wyrażenie x^{2}-6x+9. Ogólnie, gdy wyrażenie x^{2}+bx+c jest liczbą kwadratową, zawsze można je rozłożyć na czynniki jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-3\right)^{2}=-2$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{-2}$$

Uprość.

$$x-3=\sqrt{2}i x-3=-\sqrt{2}i$$

Dodaj 3 do obu stron równania.

$$x=3+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i+3$$