Rozwiąż x^2-3x+1<0

$${ x }^{ 2 } -3x+1 < 0$$

Rozwiąż względem x

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Aby rozwiązać nierówność, rozłóż lewą stronę na czynniki. Wielomian kwadratowy można rozkładać na czynniki przy użyciu przekształcenia ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), gdzie x_{1} i x_{2} to rozwiązania równania kwadratowego ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-3x+1=0$$

Wszystkie równania formularza ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Podstaw 1 do a, -3 do b i 1 do c w formule kwadratowej.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Wykonaj obliczenia.

$$x=\frac{3±\sqrt{5}}{2}$$

Rozwiązać równanie x=\frac{3±\sqrt{5}}{2} po ± jest plus i kiedy ± minus.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

Przepisz nierówność za pomocą uzyskanych rozwiązań.

$$\left(x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)\left(x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)<0$$

Aby iloczyn mógł być ujemny, wartości x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} i x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} muszą mieć przeciwne znaki. Rozważ przypadek, w którym wartość x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} jest dodatnia, a wartość x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} jest ujemna.

$$x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}>0 x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}<0$$

Jest to fałszywe dla każdego elementu x.

$$x\in \emptyset$$

Rozważ przypadek, w którym wartość x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} jest dodatnia, a wartość x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} jest ujemna.

$$x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}<0$$

Rozwiązanie spełniające obie nierówności to x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right).

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$

Rozwiązaniem końcowym jest suma uzyskanych rozwiązań.

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$