Rozwiąż x^2-21x+104=0

$${ x }^{ 2 } -21x+104=0$$

Rozwiąż względem x

$$x=8$$

$$x=13$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki

Aby rozwiązać równanie, rozłóż x^{2}-21x+104 na czynniki przy użyciu formuły x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-21 ab=104$$

Ponieważ ab ma wartość dodatnią, a i b mają ten sam znak. Ponieważ a+b jest wartością ujemną, a i b są ujemne. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn 104.

$$-1,-104 -2,-52 -4,-26 -8,-13$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$-1-104=-105 -2-52=-54 -4-26=-30 -8-13=-21$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę -21.

$$a=-13 b=-8$$

Zapisz ponownie wyrażenie rozłożone na czynniki \left(x+a\right)\left(x+b\right), używając uzyskanych wartości.

$$\left(x-13\right)\left(x-8\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: x-13=0 i x-8=0.

$$x=13 x=8$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: x^{2}+ax+bx+104. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-21 ab=1\times 104=104$$

Ponieważ ab ma wartość dodatnią, a i b mają ten sam znak. Ponieważ a+b jest wartością ujemną, a i b są ujemne. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn 104.

$$-1,-104 -2,-52 -4,-26 -8,-13$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$-1-104=-105 -2-52=-54 -4-26=-30 -8-13=-21$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę -21.

$$a=-13 b=-8$$

Przepisz x^{2}-21x+104 jako \left(x^{2}-13x\right)+\left(-8x+104\right).

$$\left(x^{2}-13x\right)+\left(-8x+104\right)$$

Wyłącz przed nawias x w pierwszej grupie i -8 w drugiej grupie.

$$x\left(x-13\right)-8\left(x-13\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik x-13, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(x-13\right)\left(x-8\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: x-13=0 i x-8=0.

$$x=13 x=8$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$x^{2}-21x+104=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 1 do a, -21 do b i 104 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\times 104}}{2}$$

Podnieś do kwadratu -21.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-4\times 104}}{2}$$

Pomnóż -4 przez 104.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-416}}{2}$$

Dodaj 441 do -416.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{25}}{2}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 25.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±5}{2}$$

Liczba przeciwna do -21 to 21.

$$x=\frac{21±5}{2}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{21±5}{2} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj 21 do 5.

$$x=\frac{26}{2}$$

Podziel 26 przez 2.

$$x=13$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{21±5}{2} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 5 od 21.

$$x=\frac{16}{2}$$

Podziel 16 przez 2.

$$x=8$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=13 x=8$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-21x+104=0$$

Odejmij 104 od obu stron równania.

$$x^{2}-21x+104-104=-104$$

Odjęcie 104 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$x^{2}-21x=-104$$

Podziel -21, współczynnik x, przez 2, aby otrzymać -\frac{21}{2}. Następnie dodaj kwadrat liczby -\frac{21}{2} do obu stron równania. Ten krok sprawi, że lewa strona tego równania stanie się liczbą kwadratową.

$$x^{2}-21x+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}=-104+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu -\frac{21}{2}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}-21x+\frac{441}{4}=-104+\frac{441}{4}$$

Dodaj -104 do \frac{441}{4}.

$$x^{2}-21x+\frac{441}{4}=\frac{25}{4}$$

Rozłóż na czynniki wyrażenie x^{2}-21x+\frac{441}{4}. Ogólnie, gdy wyrażenie x^{2}+bx+c jest liczbą kwadratową, zawsze można je rozłożyć na czynniki jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{21}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x-\frac{21}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Uprość.

$$x-\frac{21}{2}=\frac{5}{2} x-\frac{21}{2}=-\frac{5}{2}$$

Dodaj \frac{21}{2} do obu stron równania.

$$x=13 x=8$$