Rozwiąż x^2+x+1=0

$${ x }^{ 2 } +x+1 = 0$$

Rozwiąż względem x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\approx -0,5+0,866025404i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}\approx -0,5-0,866025404i$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$x^{2}+x+1=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 1 do a, 1 do b i 1 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4}}{2}$$

Podnieś do kwadratu 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4}}{2}$$

Dodaj 1 do -4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-3}}{2}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości -3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{2}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{2} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj -1 do i\sqrt{3}.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{2} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij i\sqrt{3} od -1.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+x+1=0$$

Odejmij 1 od obu stron równania.

$$x^{2}+x+1-1=-1$$

Odjęcie 1 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$x^{2}+x=-1$$

Podziel 1, współczynnik x, przez 2, aby otrzymać \frac{1}{2}. Następnie dodaj kwadrat liczby \frac{1}{2} do obu stron równania. Ten krok sprawi, że lewa strona tego równania stanie się liczbą kwadratową.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu \frac{1}{2}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-1+\frac{1}{4}$$

Dodaj -1 do \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$$

Rozłóż na czynniki wyrażenie x^{2}+x+\frac{1}{4}. Ogólnie, gdy wyrażenie x^{2}+bx+c jest liczbą kwadratową, zawsze można je rozłożyć na czynniki jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{3}{4}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{4}}$$

Uprość.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}i}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}i}{2}$$

Odejmij \frac{1}{2} od obu stron równania.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$