Rozwiąż {left(frac{sqrt{3}+1}{sqrt{3}-1}right)}^2

$${ \left( \frac{ \sqrt{ 3 } +1 }{ \sqrt{ 3 } -1 } \right) }^{ 2 }$$

Oblicz

$$4\sqrt{3}+7\approx 13,92820323$$

Kroki rozwiązania

Umożliwia racjonalizację mianownika \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} przez mnożenie licznika i mianownika przez \sqrt{3}+1.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}\right)^{2}$$

Rozważ \left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right). Mnożenie można przekształcić w różnicę kwadratów, stosując regułę: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu \sqrt{3}. Podnieś do kwadratu 1.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{3-1}\right)^{2}$$

Odejmij 1 od 3, aby uzyskać 2.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{2}\right)^{2}$$

Pomnóż \sqrt{3}+1 przez \sqrt{3}+1, aby uzyskać \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}}{2}\right)^{2}$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}\right)^{2}+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

Kwadrat liczby \sqrt{3} to 3.

$$\left(\frac{3+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

Dodaj 3 i 1, aby uzyskać 4.

$$\left(\frac{4+2\sqrt{3}}{2}\right)^{2}$$

Podziel każdy czynnik wyrażenia 4+2\sqrt{3} przez 2, aby uzyskać 2+\sqrt{3}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}$$

Kwadrat liczby \sqrt{3} to 3.

$$4+4\sqrt{3}+3$$

Dodaj 4 i 3, aby uzyskać 7.

$$7+4\sqrt{3}$$

Rozwiń

$$4 \sqrt{3} + 7 = 13,92820323$$

Kroki rozwiązania

Umożliwia racjonalizację mianownika \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} przez mnożenie licznika i mianownika przez \sqrt{3}+1.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}\right)^{2}$$

Rozważ \left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right). Mnożenie można przekształcić w różnicę kwadratów, stosując regułę: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu \sqrt{3}. Podnieś do kwadratu 1.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{3-1}\right)^{2}$$

Odejmij 1 od 3, aby uzyskać 2.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{2}\right)^{2}$$

Pomnóż \sqrt{3}+1 przez \sqrt{3}+1, aby uzyskać \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}}{2}\right)^{2}$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}\right)^{2}+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

Kwadrat liczby \sqrt{3} to 3.

$$\left(\frac{3+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

Dodaj 3 i 1, aby uzyskać 4.

$$\left(\frac{4+2\sqrt{3}}{2}\right)^{2}$$

Podziel każdy czynnik wyrażenia 4+2\sqrt{3} przez 2, aby uzyskać 2+\sqrt{3}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}$$

Kwadrat liczby \sqrt{3} to 3.

$$4+4\sqrt{3}+3$$

Dodaj 4 i 3, aby uzyskać 7.

$$7+4\sqrt{3}$$