Rozwiąż sqrt{x+3}+sqrt{x+6}=sqrt{x+11}

$$\sqrt{ x+3 } + \sqrt{ x+6 } = \sqrt{ x+11 }$$

Rozwiąż względem x

$$x=-2$$

Kroki rozwiązania

Podnieś do kwadratu obie strony równania.

$$\left(\sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(\sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Podnieś \sqrt{x+3} do potęgi 2, aby uzyskać x+3.

$$x+3+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Podnieś \sqrt{x+6} do potęgi 2, aby uzyskać x+6.

$$x+3+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+x+6=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Połącz x i x, aby uzyskać 2x.

$$2x+3+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+6=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Dodaj 3 i 6, aby uzyskać 9.

$$2x+9+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Podnieś \sqrt{x+11} do potęgi 2, aby uzyskać x+11.

$$2x+9+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=x+11$$

Odejmij 2x+9 od obu stron równania.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=x+11-\left(2x+9\right)$$

Aby znaleźć wartość przeciwną do 2x+9, znajdź wartość przeciwną każdego czynnika.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=x+11-2x-9$$

Połącz x i -2x, aby uzyskać -x.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=-x+11-9$$

Odejmij 9 od 11, aby uzyskać 2.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=-x+2$$

Podnieś do kwadratu obie strony równania.

$$\left(2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

Rozwiń \left(2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}\right)^{2}.

$$2^{2}\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

Podnieś 2 do potęgi 2, aby uzyskać 4.

$$4\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

Podnieś \sqrt{x+3} do potęgi 2, aby uzyskać x+3.

$$4\left(x+3\right)\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

Podnieś \sqrt{x+6} do potęgi 2, aby uzyskać x+6.

$$4\left(x+3\right)\left(x+6\right)=\left(-x+2\right)^{2}$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć 4 przez x+3.

$$\left(4x+12\right)\left(x+6\right)=\left(-x+2\right)^{2}$$

Aby zastosować właściwość rozdzielności, pomnóż każdy czynnik wartości 4x+12 przez każdy czynnik wartości x+6.

$$4x^{2}+24x+12x+72=\left(-x+2\right)^{2}$$

Połącz 24x i 12x, aby uzyskać 36x.

$$4x^{2}+36x+72=\left(-x+2\right)^{2}$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(-x+2\right)^{2}.

$$4x^{2}+36x+72=x^{2}-4x+4$$

Odejmij x^{2} od obu stron.

$$4x^{2}+36x+72-x^{2}=-4x+4$$

Połącz 4x^{2} i -x^{2}, aby uzyskać 3x^{2}.

$$3x^{2}+36x+72=-4x+4$$

Dodaj 4x do obu stron.

$$3x^{2}+36x+72+4x=4$$

Połącz 36x i 4x, aby uzyskać 40x.

$$3x^{2}+40x+72=4$$

Odejmij 4 od obu stron.

$$3x^{2}+40x+72-4=0$$

Odejmij 4 od 72, aby uzyskać 68.

$$3x^{2}+40x+68=0$$

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: 3x^{2}+ax+bx+68. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=40 ab=3\times 68=204$$

Ponieważ ab ma wartość dodatnią, a i b mają ten sam znak. Ponieważ a+b ma wartość dodatnią, a i b są dodatnie. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn 204.

$$1,204 2,102 3,68 4,51 6,34 12,17$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$1+204=205 2+102=104 3+68=71 4+51=55 6+34=40 12+17=29$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę 40.

$$a=6 b=34$$

Przepisz 3x^{2}+40x+68 jako \left(3x^{2}+6x\right)+\left(34x+68\right).

$$\left(3x^{2}+6x\right)+\left(34x+68\right)$$

3x w pierwszej i 34 w drugiej grupie.

$$3x\left(x+2\right)+34\left(x+2\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik x+2, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(x+2\right)\left(3x+34\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: x+2=0 i 3x+34=0.

$$x=-2 x=-\frac{34}{3}$$

Podstaw -\frac{34}{3} do x w równaniu: \sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}=\sqrt{x+11}. Wyrażenie \sqrt{-\frac{34}{3}+3} jest nieokreślone, ponieważ wyrażenie podpierwiastkowe nie może być ujemne.

$$\sqrt{-\frac{34}{3}+3}+\sqrt{-\frac{34}{3}+6}=\sqrt{-\frac{34}{3}+11}$$

Podstaw -2 do x w równaniu: \sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}=\sqrt{x+11}.

$$\sqrt{-2+3}+\sqrt{-2+6}=\sqrt{-2+11}$$

Uprość. Wartość x=-2 spełnia równanie.

$$3=3$$

Równanie \sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}=\sqrt{x+11} ma unikatowe rozwiązanie.

$$x=-2$$