Rozwiąż sqrt{x}=x-1

$$\sqrt{ x } =x-1$$

Rozwiąż względem x

$$x = \frac{\sqrt{5} + 3}{2} \approx 2,618033989$$

Kroki rozwiązania

Podnieś do kwadratu obie strony równania.

$$\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(x-1\right)^{2}$$

Podnieś \sqrt{x} do potęgi 2, aby uzyskać x.

$$x=\left(x-1\right)^{2}$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(x-1\right)^{2}.

$$x=x^{2}-2x+1$$

Odejmij x^{2} od obu stron.

$$x-x^{2}=-2x+1$$

Dodaj 2x do obu stron.

$$x-x^{2}+2x=1$$

Połącz x i 2x, aby uzyskać 3x.

$$3x-x^{2}=1$$

Odejmij 1 od obu stron.

$$3x-x^{2}-1=0$$

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$-x^{2}+3x-1=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw -1 do a, 3 do b i -1 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Podnieś do kwadratu 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Pomnóż -4 przez -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Pomnóż 4 przez -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4}}{2\left(-1\right)}$$

Dodaj 9 do -4.

$$x=\frac{-3±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Pomnóż 2 przez -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{5}}{-2}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-3±\sqrt{5}}{-2} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj -3 do \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{-2}$$

Podziel -3+\sqrt{5} przez -2.

$$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-3±\sqrt{5}}{-2} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij \sqrt{5} od -3.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-3}{-2}$$

Podziel -3-\sqrt{5} przez -2.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$

Podstaw \frac{3-\sqrt{5}}{2} do x w równaniu: \sqrt{x}=x-1.

$$\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}-1$$

Uprość. Wartość x=\frac{3-\sqrt{5}}{2} nie spełnia równania, ponieważ lewa i prawa strona mają przeciwne znaki.

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}$$

Podstaw \frac{\sqrt{5}+3}{2} do x w równaniu: \sqrt{x}=x-1.

$$\sqrt{\frac{\sqrt{5}+3}{2}}=\frac{\sqrt{5}+3}{2}-1$$

Uprość. Wartość x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} spełnia równanie.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}$$

Równanie \sqrt{x}=x-1 ma unikatowe rozwiązanie.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$