Rozwiąż sqrt{4y+1}-sqrt{y-2}=3

$$\sqrt{ 4y+1 } - \sqrt{ y-2 } =3$$

Rozwiąż względem y

$$y=6$$

$$y=2$$

Kroki rozwiązania

Odejmij -\sqrt{y-2} od obu stron równania.

$$\sqrt{4y+1}=3+\sqrt{y-2}$$

Podnieś do kwadratu obie strony równania.

$$\left(\sqrt{4y+1}\right)^{2}=\left(3+\sqrt{y-2}\right)^{2}$$

Podnieś \sqrt{4y+1} do potęgi 2, aby uzyskać 4y+1.

$$4y+1=\left(3+\sqrt{y-2}\right)^{2}$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(3+\sqrt{y-2}\right)^{2}.

$$4y+1=9+6\sqrt{y-2}+\left(\sqrt{y-2}\right)^{2}$$

Podnieś \sqrt{y-2} do potęgi 2, aby uzyskać y-2.

$$4y+1=9+6\sqrt{y-2}+y-2$$

Odejmij 2 od 9, aby uzyskać 7.

$$4y+1=7+6\sqrt{y-2}+y$$

Odejmij 7+y od obu stron równania.

$$4y+1-\left(7+y\right)=6\sqrt{y-2}$$

Aby znaleźć wartość przeciwną do 7+y, znajdź wartość przeciwną każdego czynnika.

$$4y+1-7-y=6\sqrt{y-2}$$

Odejmij 7 od 1, aby uzyskać -6.

$$4y-6-y=6\sqrt{y-2}$$

Połącz 4y i -y, aby uzyskać 3y.

$$3y-6=6\sqrt{y-2}$$

Podnieś do kwadratu obie strony równania.

$$\left(3y-6\right)^{2}=\left(6\sqrt{y-2}\right)^{2}$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(3y-6\right)^{2}.

$$9y^{2}-36y+36=\left(6\sqrt{y-2}\right)^{2}$$

Rozwiń \left(6\sqrt{y-2}\right)^{2}.

$$9y^{2}-36y+36=6^{2}\left(\sqrt{y-2}\right)^{2}$$

Podnieś 6 do potęgi 2, aby uzyskać 36.

$$9y^{2}-36y+36=36\left(\sqrt{y-2}\right)^{2}$$

Podnieś \sqrt{y-2} do potęgi 2, aby uzyskać y-2.

$$9y^{2}-36y+36=36\left(y-2\right)$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć 36 przez y-2.

$$9y^{2}-36y+36=36y-72$$

Odejmij 36y od obu stron.

$$9y^{2}-36y+36-36y=-72$$

Połącz -36y i -36y, aby uzyskać -72y.

$$9y^{2}-72y+36=-72$$

Dodaj 72 do obu stron.

$$9y^{2}-72y+36+72=0$$

Dodaj 36 i 72, aby uzyskać 108.

$$9y^{2}-72y+108=0$$

Podziel obie strony przez 9.

$$y^{2}-8y+12=0$$

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: y^{2}+ay+by+12. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-8 ab=1\times 12=12$$

Ponieważ ab ma wartość dodatnią, a i b mają ten sam znak. Ponieważ a+b jest wartością ujemną, a i b są ujemne. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn 12.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę -8.

$$a=-6 b=-2$$

Przepisz y^{2}-8y+12 jako \left(y^{2}-6y\right)+\left(-2y+12\right).

$$\left(y^{2}-6y\right)+\left(-2y+12\right)$$

y w pierwszej i -2 w drugiej grupie.

$$y\left(y-6\right)-2\left(y-6\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik y-6, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(y-6\right)\left(y-2\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: y-6=0 i y-2=0.

$$y=6 y=2$$

Podstaw 6 do y w równaniu: \sqrt{4y+1}-\sqrt{y-2}=3.

$$\sqrt{4\times 6+1}-\sqrt{6-2}=3$$

Uprość. Wartość y=6 spełnia równanie.

$$3=3$$

Podstaw 2 do y w równaniu: \sqrt{4y+1}-\sqrt{y-2}=3.

$$\sqrt{4\times 2+1}-\sqrt{2-2}=3$$

Uprość. Wartość y=2 spełnia równanie.

$$3=3$$

Lista wszystkich rozwiązań równania \sqrt{4y+1}=\sqrt{y-2}+3.

$$y=6 y=2$$