Rozwiąż sqrt{2x-3}=2+sqrt{x-5}

$$\sqrt{ 2x-3 } = 2+ \sqrt{ x-5 }$$

Rozwiąż względem x

$$x=14$$

$$x=6$$

Kroki rozwiązania

Podnieś do kwadratu obie strony równania.

$$\left(\sqrt{2x-3}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Podnieś \sqrt{2x-3} do potęgi 2, aby uzyskać 2x-3.

$$2x-3=\left(2+\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(2+\sqrt{x-5}\right)^{2}.

$$2x-3=4+4\sqrt{x-5}+\left(\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Podnieś \sqrt{x-5} do potęgi 2, aby uzyskać x-5.

$$2x-3=4+4\sqrt{x-5}+x-5$$

Odejmij 5 od 4, aby uzyskać -1.

$$2x-3=-1+4\sqrt{x-5}+x$$

Odejmij -1+x od obu stron równania.

$$2x-3-\left(-1+x\right)=4\sqrt{x-5}$$

Aby znaleźć wartość przeciwną do -1+x, znajdź wartość przeciwną każdego czynnika.

$$2x-3+1-x=4\sqrt{x-5}$$

Dodaj -3 i 1, aby uzyskać -2.

$$2x-2-x=4\sqrt{x-5}$$

Połącz 2x i -x, aby uzyskać x.

$$x-2=4\sqrt{x-5}$$

Podnieś do kwadratu obie strony równania.

$$\left(x-2\right)^{2}=\left(4\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(x-2\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+4=\left(4\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Rozwiń \left(4\sqrt{x-5}\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+4=4^{2}\left(\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Podnieś 4 do potęgi 2, aby uzyskać 16.

$$x^{2}-4x+4=16\left(\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Podnieś \sqrt{x-5} do potęgi 2, aby uzyskać x-5.

$$x^{2}-4x+4=16\left(x-5\right)$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć 16 przez x-5.

$$x^{2}-4x+4=16x-80$$

Odejmij 16x od obu stron.

$$x^{2}-4x+4-16x=-80$$

Połącz -4x i -16x, aby uzyskać -20x.

$$x^{2}-20x+4=-80$$

Dodaj 80 do obu stron.

$$x^{2}-20x+4+80=0$$

Dodaj 4 i 80, aby uzyskać 84.

$$x^{2}-20x+84=0$$

Aby rozwiązać równanie, rozłóż x^{2}-20x+84 na czynniki przy użyciu formuły x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-20 ab=84$$

Ponieważ ab ma wartość dodatnią, a i b mają ten sam znak. Ponieważ a+b jest wartością ujemną, a i b są ujemne. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn 84.

$$-1,-84 -2,-42 -3,-28 -4,-21 -6,-14 -7,-12$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$-1-84=-85 -2-42=-44 -3-28=-31 -4-21=-25 -6-14=-20 -7-12=-19$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę -20.

$$a=-14 b=-6$$

Zapisz ponownie wyrażenie rozłożone na czynniki \left(x+a\right)\left(x+b\right), używając uzyskanych wartości.

$$\left(x-14\right)\left(x-6\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: x-14=0 i x-6=0.

$$x=14 x=6$$

Podstaw 14 do x w równaniu: \sqrt{2x-3}=2+\sqrt{x-5}.

$$\sqrt{2\times 14-3}=2+\sqrt{14-5}$$

Uprość. Wartość x=14 spełnia równanie.

$$5=5$$

Podstaw 6 do x w równaniu: \sqrt{2x-3}=2+\sqrt{x-5}.

$$\sqrt{2\times 6-3}=2+\sqrt{6-5}$$

Uprość. Wartość x=6 spełnia równanie.

$$3=3$$

Lista wszystkich rozwiązań równania \sqrt{2x-3}=\sqrt{x-5}+2.

$$x=14 x=6$$