Rozwiąż sqrt{1-x}+sqrt{1+x}=sqrt{2}

$$\sqrt{ 1-x } + \sqrt{ 1+x } = \sqrt{ 2 }$$

Rozwiąż względem x

$$x=1$$

$$x=-1$$

Kroki rozwiązania

Odejmij \sqrt{1+x} od obu stron równania.

$$\sqrt{1-x}=\sqrt{2}-\sqrt{1+x}$$

Podnieś do kwadratu obie strony równania.

$$\left(\sqrt{1-x}\right)^{2}=\left(\sqrt{2}-\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Podnieś \sqrt{1-x} do potęgi 2, aby uzyskać 1-x.

$$1-x=\left(\sqrt{2}-\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(\sqrt{2}-\sqrt{1+x}\right)^{2}.

$$1-x=\left(\sqrt{2}\right)^{2}-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}+\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Kwadrat liczby \sqrt{2} to 2.

$$1-x=2-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}+\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Podnieś \sqrt{1+x} do potęgi 2, aby uzyskać 1+x.

$$1-x=2-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}+1+x$$

Dodaj 2 i 1, aby uzyskać 3.

$$1-x=3-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}+x$$

Odejmij 3+x od obu stron równania.

$$1-x-\left(3+x\right)=-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}$$

Aby znaleźć wartość przeciwną do 3+x, znajdź wartość przeciwną każdego czynnika.

$$1-x-3-x=-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}$$

Odejmij 3 od 1, aby uzyskać -2.

$$-2-x-x=-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}$$

Połącz -x i -x, aby uzyskać -2x.

$$-2-2x=-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}$$

Podnieś do kwadratu obie strony równania.

$$\left(-2-2x\right)^{2}=\left(-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(-2-2x\right)^{2}.

$$4+8x+4x^{2}=\left(-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Rozwiń \left(-2\sqrt{2}\sqrt{1+x}\right)^{2}.

$$4+8x+4x^{2}=\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{2}\right)^{2}\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Podnieś -2 do potęgi 2, aby uzyskać 4.

$$4+8x+4x^{2}=4\left(\sqrt{2}\right)^{2}\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Kwadrat liczby \sqrt{2} to 2.

$$4+8x+4x^{2}=4\times 2\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Pomnóż 4 przez 2, aby uzyskać 8.

$$4+8x+4x^{2}=8\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}$$

Podnieś \sqrt{1+x} do potęgi 2, aby uzyskać 1+x.

$$4+8x+4x^{2}=8\left(1+x\right)$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć 8 przez 1+x.

$$4+8x+4x^{2}=8+8x$$

Odejmij 8 od obu stron.

$$4+8x+4x^{2}-8=8x$$

Odejmij 8 od 4, aby uzyskać -4.

$$-4+8x+4x^{2}=8x$$

Odejmij 8x od obu stron.

$$-4+8x+4x^{2}-8x=0$$

Połącz 8x i -8x, aby uzyskać 0.

$$-4+4x^{2}=0$$

Podziel obie strony przez 4.

$$-1+x^{2}=0$$

Rozważ -1+x^{2}. Przepisz -1+x^{2} jako x^{2}-1^{2}. Różnica kwadratów może być współczynnikina przy użyciu reguły: a^{2}-b^{2}=\left(a-b\right)\left(a+b\right).

$$\left(x-1\right)\left(x+1\right)=0$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: x-1=0 i x+1=0.

$$x=1 x=-1$$

Podstaw 1 do x w równaniu: \sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}=\sqrt{2}.

$$\sqrt{1-1}+\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$$

Uprość. Wartość x=1 spełnia równanie.

$$2^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{1}{2}}$$

Podstaw -1 do x w równaniu: \sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}=\sqrt{2}.

$$\sqrt{1-\left(-1\right)}+\sqrt{1-1}=\sqrt{2}$$

Uprość. Wartość x=-1 spełnia równanie.

$$2^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{1}{2}}$$

Lista wszystkich rozwiązań równania \sqrt{1-x}=-\sqrt{x+1}+\sqrt{2}.

$$x=1 x=-1$$